Sa se calculeze limitele sirurilor (an):

Este tema de vacanta?

[Citat]

Sa incercam impreuna:

(1) Fara a restrange generalitatea putem lua a mai mare sau egal cu b.
Inmultim si impartim fortat cu a^n sub radicalul de ordinul n.
Cu ceea ce inmultim scoatem afara. Scoatem deci un a afara din radical.
Cu ceea ce impartim repartizam la cei doi termeni. Dam de 1 + (b/a)^n.
Deja putem calcula limita de sub radicalul de ordinul n.
REEDITARE:
Ea este 1 daca b<a, respectiv 2 daca b=a.

Limita toata este deci max(a,b) daca a si b difera, respectiv 2a=2b daca a=b.

Acest 1 + (b/a)^n se afla intre 1 si 2.
Deci termenul general se afla intre
max(a,b)
si
max(a,b) inmultit cu radical de ordinul n din 2. Acest radical de ordin n tinde la 1.
Deci limita sirului dat este, folosind criteriul clestelui:

max(a,b) .

(2) Acelasi argument. Care este limita?

(3) Minoram / majoram brutal pentru a obtine "clestele" pentru expresia care ne face probleme:

Acum acel 1/n din fata logaritmului intra "in logaritm" pentru a ne pune in fata unui exercitiu care seamana cu (1) si (2). Cum procedam mai departe? Care este raspunsul?

(4) Problema principala este cea cu ochii, a trebuit sa ma uit de mai multe ori ca sa percep exponentii din numitor. Apoi solutia este simpla:

Care este limita?

(5) Termenul general din nou se poate incadra intre 0 si
n . n! / ( 0 + (2n)! ) = (n+1)! / (2n)! < 1/(2n) pentru n>1
(dupa ce simplificam cu (n+1)!). Care este limita? Ce se aplica

(6) Banuiesc ca [x] este partea intreaga a lui x mai sus.
In acest caz avem inegalitatea dubla
x-1 < [ x ] <= x
pe care o aplicam pentru fiecare termen din numarator.
Dam de un majorant si de un minorant cu o suma calculabila.
Dam dupa acest calcul de limite de polinom de grad 3 in n supra polinom de grad 3 in n (in numitor, unde ramane n³+n) .
Care este limita?

La 4 nu se poate folosi criteriul clestelui ..pt fiecare valoare a lui k=1,n ;expresia sa fie >= si <= decat alte expresii care convin?

La (4) am dat o minorare / majorare pentru termenii care apar in suma pentru un n fixat.
Adunand dupa toti k ca putem incadra a(n) intre 0 si (n+1) / 3^n,
acesta este clestele dorit.

Eu am gandit in felul urmator..sa formez inegalitati astfel si aplicand apoi clestele:

Iar pentru limita din n/(2^n+3^n) mai trebuie aplicata vreun criteriu/metoda sau se observa direct ca n<2^n+3^n si este 0 limita??

Este bine, desigur, si asa.
Dar deoarece marginea superioara din cleste tinde la zero, ajunge sa luam minorarea mai "generos", direct zero, nu mai ramane nici o discutie...

Limitele de la 2) si 3) mi se par mai grele ..daca se poate sa-mi aratati o rezolvare mai detaliata .Multumesc!

[Citat] Limitele de la 2) si 3) mi se par mai grele ..

Dau solutia completa la (2), am gresit mai sus, am tiparit foarte in graba. Este bine sa incercam sa o intelegem impreuna.

Sa trecem la (3).

Cele de mai sus sunt doar un prim pas spre o solutie prezentabila a lui (3). Am scris-o pentru a se vedea modul de "rafinare" al argumentelor. Pur si simplu putem fi de la inceput mai grosolani si din punct de vedere didactic lucrurile se digera mai usor.

Dupa ce am scris totul in detaliu vedem ca de fapt putem sa fim din prima generosi! Solutia mult mai simpla este:

Va multumesc!! in mare parte am inteles explicatiile d-voastra ..sirul cu logaritmul natural era mai dificil..a fost la o olimpiada din anii '75-80 din cate am vazut in manual.

[Citat] Va multumesc!! in mare parte am inteles explicatiile d-voastra ..sirul cu logaritmul natural era mai dificil..a fost la o olimpiada din anii '75-80 din cate am vazut in manual.

Cu cea mai mare bucurie!
Daca mai sunt lucruri neclare, rog a se intreba mai departe pana ce toate fatetele sunt clarificate. De multe ori intrebarea are un rol mult mai mare in intelegere decat raspunsul, pur si simplu formularea intrebarii asfel incat toate fragmentele din puzzle sa aiba sens (in intrebare) ajuta la intelegere si elucidare...