Fie ?=cos(2?/7)+i·sin(2?/7).Sa se determine a,b,c,d,e,f reale astfel incat a+b·?+c·?^2+d·?^3+e·?^4+f·?^5=1/(1-?)

[Citat] Fie ?=cos(2?/7)+i·sin(2?/7).Sa se determine a,b,c,d,e,f reale astfel incat a+b·?+c·?^2+d·?^3+e·?^4+f·?^5=1/(1-?)

Inmultim relatia cu (1-?), dam acel 1 de pe partea dreapta pe cea stanga si insistam ca ceea ce obtinem sa fie un multiplu al expresiei (a polinomului minimal) de anulare a lui ? care este
1 + ? + ?² + ... + ?^6 = 0 .

Acest multiplu il vedem imediat daca ne uitam la coeficientul de grad 6 de exemplu.
Care este sistemul? (Cu necunoscutele a,b,c,d,e,f...)
Care este solutia?

[Citat] insistam ca ceea ce obtinem sa fie un multiplu al expresiei (a polinomului minimal) de anulare a lui ? care este 1 + ? + ?² + ... + ?^6 = 0 .

Asta doar dac? a,b,c,d,e,f sunt ra?ionale.

[Citat] [Citat] Fie ?=cos(2?/7)+i·sin(2?/7).Sa se determine a,b,c,d,e,f reale astfel incat a+b·?+c·?^2+d·?^3+e·?^4+f·?^5=1/(1-?) Inmultim relatia cu (1-?), dam acel 1 de pe partea dreapta pe cea stanga si insistam ca ceea ce obtinem sa fie un multiplu al expresiei (a polinomului minimal) de anulare a lui ? care este 1 + ? + ?² + ... + ?^6 = 0 . Acest multiplu il vedem imediat daca ne uitam la coeficientul de grad 6 de exemplu. Care este sistemul? (Cu necunoscutele a,b,c,d,e,f...) Care este solutia?

Peste numerele reale nu mai am nici un polinom minimal de grad asa mare.
(Extinderea este de grad doi, desigur.)

Tiparind cele de mai sus am vrut doar sa dau un drum pentru calculul reprezentarii pe care mi-o da computerul.
(Doua linii! Pentru cei din liceu: se merita sa se invete un program de calcul simbolic, el suplineste bine un meditator care doar verifica...)

sage: K.<e> = CyclotomicField(7)
sage: 1/(1-e)
1/7*e^5 + 2/7*e^4 + 3/7*e^3 + 4/7*e^2 + 5/7*e + 6/7

Am folosit e pentru epsilon din comoditate.

N.B. Am fost "socat" sa vad ca se cere o scriere peste numerele reale!

Acel cod este cumva de pe http://www.sagemath.org/ ??

[Citat] Acel cod este cumva de pe http://www.sagemath.org/ ??

Da, instaland sage de pe
http://www.sagemath.org/
se obtine repede o masina libera de calcul.

Codul de mai sus l-am rulat direct in interpreter-ul sage.

Punand cate un semn de intrebare in spatele fiecarei metode se poate da de cod exemplificator. Se invata foarte repede in acelasi timp si matematica, si informatica aferente.

(Cel mai bine se pune sage pe o masina linux, dar nici cu Windows (R) (TM) nu este rau, nu pot insa raspunde la intrebari specifice legate de Windows (R) (TM).)