Suma a patru numere naturale este 626. Impartindu-le prin acelasi numar natural nenul , se obtin numere naturale consecutive si resturile 1,2,3 respectiv 4. Aflati numerele. Cate solutii are problema?

[Citat] Suma a patru numere naturale este 626. Impartindu-le prin acelasi numar natural nenul , se obtin numere naturale consecutive si resturile 1,2,3 respectiv 4. Aflati numerele. Cate solutii are problema?

Fie m,n,p,q numerele cautate atunci putem scrie relatiile tinand cont si de formula impartirii cu rest:
m+n+p+q=626
m=IxC+1
n=Ix(C+1)+2
p=Ix(C+2)+3
q=Ix(C+3)+4
ceea ce inseamna ca putem scrie ca m+n+p+q=4xIxC+6xI+10=626 de unde rezulta ca
Ix(2xC+3)=308=4x7x11.Se observa ca 2xC+3 este un numar fara sot pentru orice numar natural c>0 si deci exista doar variantele:
2xC+3=7 adica C=2 si I=44
2xC+3=11 adica C=4 si I=28
2xC+3=77 adica C=37 si I=4
In concluzie rezulta ca avem urmatoarele solutii:
a) m=89 ; n=134 ; p=179 ; q=224
b) m=113 ; n=142 ; p=171 ; q=200
c) m=149 ; n=154 ; p=159 ; q=164.

O sa rescriu enuntul introducand cateva variabile care ne ajuta apoi in solutie.

[Citat] Suma a patru numere naturale este 626. Impartindu-le prin acelasi numar natural nenul d, se obtin drept caturi numere naturale consecutive k, k+1, k+2, k+3 si corespunzator lor (in aceeasi ordine) resturile 1,2,3 respectiv 4. Aflati numerele. Cate solutii are problema?

Fara partile in albastru care spun ca
... pentru catul k se corespunde restul 1,
... pentru catul k+1 se corespunde restul 2,
... pentru catul k+2 se corespunde restul 3,
... pentru catul k+3 se corespunde restul 4,
avem si mai multe solutii.
Am mai avut acum cateva saptamani o problema de acelasi fel.

Sa trecem la solutie.

Din cele date, reulta ca numerele pe care le impartim pe rand la deimpartitul d sunt

dk + 1
d(k+1) + 2
d(k+2) + 3
d(k+3) + 4

Suma lor este

dk + 1 + d(k+1) + 2 + d(k+2) + 3 + d(k+3) + 4
=
4dk + d(1+2+3) + (1+2+3+4)
=
4dk + 6d + 10

Stim ca expresia de mai sus este 626.
Deci echivalent: 4dk + 6d = 616 .
Deci echivalent: 2dk + 3d = 308 .
Deci echivalent: d(2k + 3) = 308 .

Desigur ca factorul 2k+3 este un divizor impar al lui 308 = 2.2.7.11 .
Avem atunci pentru 2k+3 doar posibilitatile 7, 11, 77.
(Desigur ca trebuei sa excludem divizorul impar 1, nu putem sa dam de restul 2,3 sau 4 la impartirea cu el.)

Luam cazurile pe rand.

2k+3 = 7, deci k = (7-3)/2 = 4/2 = 2 .
De asemenea d = 308 / 7 = 2.2.7.11 / 7 = 44 .
Cele patru numere sunt atunci

dk + 1 = 44.2 + 1 = 89
d(k+1) + 2 = 44.3 + 2 = 134
d(k+2) + 3 = 44.4 + 3 = 179
d(k+3) + 4 = 44.5 + 4 = 224

2k+3 = 11, deci k = (11-3)/2 = 8/2 = 4 .
De asemenea d = 308 / 11 = 2.2.7.11 / 11 = 28 .
Cele patru numere sunt atunci

dk + 1 = 28.4 + 1 = 113
d(k+1) + 2 = 28.5 + 2 = 142
d(k+2) + 3 = 28.6 + 3 = 171
d(k+3) + 4 = 28.7 + 4 = 200

2k+3 = 77, deci k = (77-3)/2 = 74/2 = 37 .
De asemenea d = 308 / 77 = 2.2.7.11 / 77 = 2.2 = 4 .
Cele patru numere sunt atunci

dk + 1 = 4.37 + 1 = 149
d(k+1) + 2 = 4.38 + 2 = 154
d(k+2) + 3 = 4.39 + 3 = 159
d(k+3) + 4 = 4.40 + 4 = 164

Avem trei solutii.