Fie

un sir marginit de numere reale cu proprietatea ca

. Sa se arate ca sirul e convergent.
Studiind monotonia, voiam sa studiez

fata de 0, folosindu-ma de acele inegalitati, insa nu prea am gasit vreo legatura.

[Citat] Fie un sir marginit de numere reale cu proprietatea ca . Sa se arate ca sirul e convergent. Studiind monotonia, voiam sa studiez fata de 0, folosindu-ma de acele inegalitati, insa nu prea am gasit vreo legatura.

Ipoteza nu spune nimic. Functia

este descrescatoare si ipoteza revine la inegalitatea evidenta (si stricta in plus)

Verificati enuntul!

[Citat] Fie un sir marginit de numere reale cu proprietatea ca . Sa se arate ca sirul e convergent. Studiind monotonia, voiam sa studiez fata de 0, folosindu-ma de acele inegalitati, insa nu prea am gasit vreo legatura.

Da, e

Imi cer scuze pentru eroarea de scriere.

[Citat] Da, e Imi cer scuze pentru eroarea de scriere.

Inegalitatile de mai sus odata simplificate (ridicari la patrat si reduceri de termeni asemenea) ne spun de fapt ca

Nu ne mai ramane decat sa constatam ca limita sirului din stanga este 1/8.

Problema este artificiala si in plus cu ipoteze inutile (nu am folosit ca sirul este marginit). Pe scurt: pierdere de timp.

. De aici rezulta ca sirul x_n se afla intre anumite valori ce tind la 1/8, insa nu stiu daca toate acele valori constituie un sir convergent. Am nevoie de un criteriu de convergenta, eu ma gandeam la Weierstrass.


EDIT: Defapt, la criteriul clestelui nu cred ca trebuie ca sirul sa respecte vreo conditie de genul, sa fie monoton, marginit, etc... Criteriul spune ca daca sirul e inclus intre 2 siruri ce au aceeasi limita x, atunci limita lui x_n e x.

Totusi, nu am ajuns nicicum la relatia postata de dumneavoastra. Am ridicat prima data inegalitatea la patrat:

;

De aici, am scazut n si am impartit cu 2:

;

Dupa aceea, am inmultit cu -1 pentru a scapa de semnul -;
Relatia la care am ajuns:

Am ridicat-o la patrat, dupa care am redus termenii asemenea.
Am ajuns aici:

.

Am gresit la calcule?

Intr-adevar avem de a face cu o aplicare imediata a criteriului clestelui.

[Citat] Am gresit la calcule?

Sa fiu sincer dupa modul in care au fost incepute am fost tentat sa nu mai urmaresc calculele. Cred ca ridicarea la patrat nu a fost facuta corect caci nu vad cum s-au redus o multime de termeni in prima linie.

Inegalitatea din stanga o scriem in modul mai convenabil

Ridicam la patrat si reducem termenii asemenea. La fel pentru cealalta parte, mai intai o aranjam intr-un mod convenabil si abia apoi ridicam la patrat.

A, deci iau 2 cate 2 inegalitati... insa e

Va multumesc pentru idee!

[Citat] A, deci iau 2 cate 2 inegalitati... insa e Va multumesc pentru idee!

Atunci il inlocuiti pe 1/8 cu 9/16.