Fie 2 matrice patratice A si B de ordin 2 cu elemente complexe astfel incat

. Sa se arate ca

.

Ar?ta?i c?

.

Din cayley-hamilton

, deci ar trebui sa arat ca det(A) = 0?

Exact.

det(AB-BA) = det(A)

Am dat de o formula:

De aici nu mai stiu cum sa arat. :|


Later: Defapt,

. Corect pana aici?

Sau pur si simplu prin inductie:

[Citat] Sau pur si simplu prin inductie:

Corect! E cel mai simplu. Totu?i am preferat varianta "mai tare" cu A^2=0. A se vedea, de exemplu, http://pro-didactica.ro/bac2008_probleme/browserez2.php?pr=20091&var=42&sub=2 care, de asemenea se poate face inductiv, dar care e banal? folosind A^2=0.

Va multumesc ! Am prins ideile! Formula ce am gasit-o eu era in Gazeta matematica numarul 12 de anul trecut, insa nu stiu daca e tocmai corect ce am facut eu dupa aceea, insa aceste idei sunt clare! Multumesc.

[Citat]

Totul este spus deja, doresc doar sa accentuez faptul ca trebuie folosit esential ordinul 2 al matricilor A si B. Fara a folosi acest lucru (facandu-ne mainile murdare si luand undeva intrarile a,b,c,d in matricea...) nu prea putem arata nimic.

Cum s-a spus si mai sus,
Trace(A) = Trace( Comutatorul [A,B] = AB-BA ) = 0 .

Apoi, pentru anularea determinantului putem o vreme sa scriem.
AB = A + BA = (B+I)A si
BA = AB - A = A(B-I) .

Aplicam determinantul si dam de
det(A) det(B) = det(A) det(B+I) = det(A) det(B-I) .

Putem avea det(A) nenul?
In acest caz dam de det(B) = det(B-I) = det(B+I) .
Vine punctul in care trebuie sa folosim forma 2x2 a lui B. Sa zicem ca B are intrarile

[ a b ]
[ c d ] .

Rezulta de aici ad - bc = (a-1)(d-1) - bc = (a+1)(d+1) - bc, de unde
0 = -a-d +1 = a+d +1 .
Mai greu.

Presupunerea facuta este falsa. Rezulta det(A) = 0 .
Folosind Cayley-Hamilton rezulta deja AA = 0 .
Dar si altfel, daca stim Trace(A) = det(A) = 0 , rezulta ca A este o matrice de forma

[ a b ]
[ c -a ]

unde aa+bc = 0. Calculam atunci AA si dam de matricea care are pe diagonala aa+bc si in rest 0. Matricea nula.


Nota: Problema a insitat in enunt sa nu ne ajute sa o rezolvam excluzand acel n=0 drept putere a lui B. (Cu conventia ca B la puterea 0 este I.)