Fie a,b,c trei numere reale cu b>a>1 si c=b-a. Rezolvati in IR ecuatia:

.

x poate lua doar valori reale cu x > c .
Se vede solutia x=b.

Problema este una de munca, deloc incantatoare, departeaza omul de matematica. (Inclusiv de analiza matematica, fara de care probabil ca nu putem ataca problema. Motivul indepartarii este formularea problemei ca ecuatie, deci este o ghicitoare asupra functiei pe care trebuie sa o izolam ca sa aratam ca este monotona (pe intervale). Daca nu ar fi ghicitoarea la mijloc, lucrurile ar fi in regula. Putem accepta pe de alta parte si ecuatia, dar din pacate ecuatia transcendenta data este atat de oribila, incat nu cred ca exista interes uman pentru solutia ei.)

La nivelul carei clase trebuie depusa munca?
Care este sursa problemei?
Care este spiritul creativ care propune asa ceva?

Problema este data la clasa a X-a si este parte din tema (de la clasa).

Sunt destul de curios sa stiu cum se rezolva "la clasa" problema de fata.

[Citat]

Solutia de clasa a XI-a este cat de cat usor de prezentat:

Cum am spus, sunt foarte curios care este solutia la nivel de a X-a prezentata la clasa. Trebuie sa fie o reformulare ingenioasa a ecuatiei date, urmata de demonstrarea uneia saa a mai multor inegalitati. In orice caz, eu am rezolvat problema (ca mai sus) dupa ce am facut suficient de multe grafice de functii, de exemplu pentru a=1,2 si b=1,8 . (Graficele si industria lor tin de analiza matematica in mod natural, daca nu avem astfel de arme in mana, suntem cu mainile goale...)

Rog a i se comunica profesorului de la clasa sa propuna daca se poate probleme care se rezolva in mod natural cu cunostintele de clasa a X-a. Chiar daca solutiile sunt greu de gasit si foarte grele, cadrul rezolvarii trebuie sa fie cel natural.

Studiul din mesajul precedent al lui gauss rezolva complet problema solutiilor in intervalul

Daca am inteles eu problema bine, in cazul particular

ecuatia se poate scrie intr-o forma mai usor de abordat

Luand de exemplu a=2, b=4, ecuatia are 2 solutii: x=4 si

.

Problema este prea vaga si avem o groaza de cazuri de studiat. De exemplu pentru a=2, b=8 ecuatia se scrie

si trebuie sa cautam si solutii care pot fi teoretic negative (este drept ca le eliminam prin niste inegalitati).

Later edit Mea culpa: forma initial a ecuatiei implica x>0. Considerasem forma obtinuta dupa schimbarea de baza. Nu mi-am schimbat insa parerea ca autorul problemei nu a luat in consideratie toate cazurile posibile. As fi foarte curios sa vad ce solutie a oferit profesorul care da o asemenea problema ca tema.

Daca ar fi posibila si

atunci

ar putea avea orice valoare din intervalul

O sa cer rezolvare domnului profesor(miercuri avem ora...).

Si de ce ar trebui sa se faca numai probleme "incantatoare", calitate, care, oricum, este relativa?

[Citat] Si de ce ar trebui sa se faca numai probleme "incantatoare", calitate, care, oricum, este relativa?

Problemele NU trebuie sa fie "incantatoare",
o problema poate sa fie "muncitoreasca" si "de descantat" zile intregi,
criteriul (de natura didactica si de masa/clasa) pentru care refuz problama data la nivel de a X-a este faptul ca nu avem mijloacele abordarii in cadrul in care se abordeaza in "lumea matematica" problema.

Fara sa fac graficul nu am avut nici o sansa sa inteleg ce vrea problema.
Cand ma revolt in fata unei probleme (ca in cazul de fata)

nu ma leg sub nici o forma de cel ce a transmis problema,

in mod intelegator nici de cel ce o propune,

ma supara faptul ca din ce in ce mai mult matematica se face in Romania ASTAZI sub forma de "eu iti dau tie o problema incuietoare, tu imi dai mie o ghicitoare, el le da lor un caz particular bine ascuns de o inegalitate tocmai pescuita, dar nu ca inegalitate ci ca ecuatie..."

Nu mai este nici o sansa sa se invete
ideile principale din matematica si
simtul pentru probleme normale si importante.
Analiza matematica ne apare ca o ghidusie utila in rezolvarea de nastrujnicii...
Cumva se inverseaza focusul.
Este esential de inteles de exemplu multiplicatorii lui Lagrange.
Inclusiv demonstratia.
Dar scopul nu este deprinderea rapida a schemei de aplicare, urmata de aplicarea asidua pe sute de probleme fara noima.

Pe "scurt":
Tot asa cum stim cand dam de o infundatura in cartier, trebuie sa stim cand dam de o infundatura in viata. In particular si in matematica.

Daca unul din noi are 30 de ani si un fiu de 7 ani (sa zicem), ce trebuie sa il invatam? In ce directie sa il intrumam? Il invatam biliard? (1/10000 sansa sa poata trai din asa ceva.) Sau fotbal? (Cam aceeasi sansa...) Il invatam balet? (Sansa este de 1/100 ca omul sa chiar vrea in 3 ani sa fie balerin(a).) Il invatam sa scrie si sa citeasca? De exemplu sa citeasca povesti cu vampiri? (In speranta ca o sa-i placa...) Il invatam toata ziua sa extraga radicalul cu mana din numerele dpana la 1000?

Scriu aceste lucruri cu multa "ura in tastatura" pentru ca la vremea mea acest adevar cu infundatura mi-a fost ascuns in gimnaziu, liceu, tabere de pregatire, lot si facultate... Acest stil de "formare prin descantare" formeaza omul pentru scris culegeri de ghicitori. In nici un caz nu ofera libertate de gandire si cadru estetic de dezvoltare. In nici un caz nu ajuta la scris articole (mari sau mici) de cercetare. Pur si simplu nu vad nici o problema de cercetare care s-ar putea desprinde din enuntul de mai sus. In schimb vad foarte clar un inceput de drum in problema urmatoare:
http://www.pro-didactica.ro/forum/index.php?forumID=8&ID=39005
Ea este un pas bun, un petec printre multe altele care deschid drumul in teoria algebrica a numerelor.

Exista si probleme care deschid drumul spre analiza matematica, asa cum avem nevoie de ea in fizica sau in structuri "care se lipesc" geometric. Dar nu este cazul cu problema de fata.

Pur si simplu nu se invata nimic din studiul unei ecuatii transcendente care depinde de faptul ca o anumita functie este crescatoare "undeva", iar altundeva putem elimina din alte considerente solutiile. Chiar mai rau, daca exista o solutie "mai simpla" (mai exact, a posteriori "mai simpla") care se bazeaza pe o rescriere miraculoasa a ecuatiei, acest lucru induce in eroare, obisnuiest omul cu idea cautarii unui truc simplu pentru ca problema vine propusa de "mana omului".
Ei bine, temele de cercetare nu vin ca si cum ar fi propuse de mana omului.

[Citat] O sa cer rezolvare domnului profesor(miercuri avem ora...).

Din pacate am avut o problema si nu m-am dus la ora de mate, asa ca eventuala rezolvare va veni cam prin ianuarie :| .

@gauss: Aveti dreptate, in principiu.
Pai daca excludem toate problemele care se fac pe baza de "ghidusii" si artificii, atunci olimpiadele de matematica, cum se desfasoara ele la noi, pica in derizoriu.
Eu insa nu sunt asa transant. Apreciez si problemele care pot deschide calea catre o mica cercetare matematica sau un articol intr-o revista, dar imi plac si problemele care se rezolva instant cu o "smecherie" scurta, dar bine ascunsa.
Are si ghicitul in matematica farmecul lui.