Fie

cu proprietatea ca exista

astfel incat

. Sa se arate ca functia

este bijectiva.

f este o aplicatie liniara, are loc

f( aX+bY ) = a f(X) + b f(Y)

in mod evident. Ea leaga doua spatii vectoriale de aceeasi dimensiune.
Ajunge sa aratam ca este injectiva.
Ajunge sa aratam deci ca f(X) = 0 implica X=0.

Sa presupunem deci ca pentru o matrice X avem relatia
X + AXA = O, echivalent
X = -AXA .

De aici rezulta succesiv
X
= - A X A
= + AA X AA
= - AAA X AAA
= ...
si asa mai departe, pana cand o sa avem puterea a m-a a lui A in stanga si in dreapta lui X. Inlocuim cu alfa I, dam de o ecuatie liniara in X in care coeficientul lui X nu este nul. (Deoarece alfa evita +1 si -1.)
Deci X este nul.

Gata.

Cum imi dau seama ca f este o aplicatie liniara si de ce nu trebuie sa demonstram si surjectivitatea?

Solutia de sus nu imi place prea mult,
cred ca cel mai bine construim inversa, deoarece putem.
Pentru asta incercam sa rezolvam ecuatia

X + AXA = Y

pentru Y dat in necunoscuta X. Facem ca mai sus si dam de

X + AXA = Y
AXA + AAXAA = AYA
AAXAA + AAAXAAA = AAYAA
:
:

pana dam de puterea a m-a a lui A, pe care o putem exprima in functie de alfa.
Adunam relatiile de mai sus dupa ce le alter(n)am semnul, dam de

numar . X = Y - AYA + AAYAA - ...

unde ultima putere a lui A in dreapta si in stanga lui Y este de ordin (m-1).
Putem izola deja inversa lui f, care este functia g cu acelasi domeniu si codomeniu ca si f, data de

g(Y) = (1/numar) ( Y - AYA + AAYAA - ... ) .

Multumesc! Am inteles a doua solutie, insa la prima, daca avem aplicatie liniara de ce trebuie sa demonstram doar injectivitatea si cazul f(x) = 0 implica x=0?

Avem o aplicatie intre spatii vectoriale.
Spatiul de plecare si cel de ajungere au aceeasi dimensiune.
Atunci pentru o aplicatie *liniara* f intre cele doua spatii sunt echivalente:
f este injectiva,
f este bijectiva,
f este surjectiva.

Pentru a intelege de ce este asa, lucrurile se povesti usor, dar trebuie sa stim ceva despre "bazele" unui spatiu vectorial.

O baza este un "sistem" (multime) de vectori cu proprietatea ca
- genereaza : orice vector din spatiu se scrie ca o combinatie liniara de ei, ei sunt deci suficient de multi,
- sunt liniar independenti : neredundanta, orice vector din sistem nu se poate exprima liniar in functie de ceilalti, ei sunt deci cat se poate de putini.

In plan, vectorii de directie (1,0) si (0,1) formeaza o baza.
Dar asa se intampla cu orice vectori (a,b) si (c,d) daca matricea
a b
c d
este inversabila (are determinant nenul).

E bine sa stim ca orice spatiu vectorial admite o baza, ca orice sistem liniar independent se poate extinde la o baza si ca din orice sistem de generatori putem extrage unul (ca submultime) care sa fie baza.

Orice doua baze au aceeasi cardinalitate.
Acest numar (cardinal) se numeste dimensiunea spatiului (in care se afla baza/bazele).
De exemplu planul real are dimensiune 2 (peste IR).

Acum putem demonstra cele de mai sus folosind teorema urmatoare:

Fie f : V -> W o aplicatie liniara intre spatii vectoriale.
Fie Nucleu(f) sau Ker(f) sau Kern(f) sau Kernel(f) asa zisul nucleu al lui f, multimea pe care se anuleaza f,

Nucleu( f ) = { v in V cu f(v) = 0 in W } .

Fie Im f imaginea lui f.
Se arata usor ca Nucleu(f) si Im(f) sunt subspatii vectoriale in V si respectiv W. Atunci avem:

dim V = dim Nucleu(f) + dim Im(f) .

Demonstratie:
Nucleu(f) este spatiu vectorial. Ele are o dimensiune, sa o notam cu n'. Alegem o baza a lui cu n' elemente. Putem sa o extindem la o baza a lui V, pentru aceasta mai trebuie sa adaugam elemente, sa zicem ca mai adaugam inca n''.

Deci dim V = n'+n'' .
Spatiul combinatiilor liniare de cele n'' elemente adaugate este un spatiu vectorial, U sa zicem. Se arata usor ca f restrictionat la U cu valori in Im(f) este o bijectie. De aici rezulta cele de mai sus.

O aplicatie liniara este injectiva daca si numai daca dim Nucleu(f) = 0
O aplicatie liniara este surjectiva daca si numai daca dim Im(f) = dim(Spatiul vectorial codomeniu).

In particular rezulta ca daca avem o aplicatie de la V la W cu dim V = dim W, ea este injectiva
daca si numai daca
ea este bijectiva
daca si numai daca
ea este surjectiva .

Multumesc! Am priceput umpic mai bine cum sta treaba... Am sa ma documentez mai mult in legatura cu bazele si aplicatiile liniare.

[Citat] Multumesc! Am priceput umpic mai bine cum sta treaba... Am sa ma documentez mai mult in legatura cu bazele si aplicatiile liniare.

Ce înseamn? "umpic"?

[Citat] O baza este un "sistem" (multime) de vectori cu proprietatea ca - genereaza : orice vector din spatiu se scrie ca o combinatie liniara de ei, ei sunt deci suficient de multi, - sunt liniar independenti : neredundanta, orice vector din sistem nu se poate exprima liniar in functie de ceilalti, ei sunt deci cat se poate de putini.

Aici nu am inteles, orice vector se scrie ca o combinatie liniara de ei, ei sunt deci suficient de multi. Adica fiecare vector se poate scrie unul in functie de altul?

[Citat] [Citat] O baza este un "sistem" (multime) de vectori cu proprietatea ca - genereaza : orice vector din spatiu se scrie ca o combinatie liniara de ei, ei sunt deci suficient de multi, - sunt liniar independenti : neredundanta, orice vector din sistem nu se poate exprima liniar in functie de ceilalti, ei sunt deci cat se poate de putini. Aici nu am inteles, orice vector se scrie ca o combinatie liniara de ei, ei sunt deci suficient de multi. Adica fiecare vector se poate scrie unul in functie de altul?

De exemplu, in spatiul vectorial

al perechilor ordonate de forma (a,b), orice vector se scrie ca o combinatie liniara a vectorilor (1,0) si (0,1). Puteti sa-l scrieti pe (3,-2) ca o astfel de combinatie?

[Citat] Aici nu am inteles, orice vector se scrie ca o combinatie liniara de ei, ei sunt deci suficient de multi. Adica fiecare vector se poate scrie unul in functie de altul?

Sa notam cu i,j,k cei trei vectori din spatiul trei dimensional (IR³).
i este pe directia axei Ox
j este pe directia axei Oy
k este pe directia axei Oz
Ei formeaza o baza.

Stim de exemplu ca orice vector din spatiu se scrie unic drept
ai + bj + ck
cu a,b,c numere reale.

Comentariile legate de "suficient de multi" si "suficient de putini" sunt asa:
Daca dam unul la o parte, k sa zicem, nu mai avem sansa sa scriem vectori v drept
v = ai + bj
pentru vectorii care au originea in O si extremitatea in afara planului Oxy.
Daca mai adaugam un vector v, sa zicem ca v=ai+bj+ck, dam de o combinatie liniara netriviala in interiorul sistemului { i, j, k, v } obtinut prin adaugarea lui v la {i,j,k} . Aceasta combinatie liniara este v +(-a)i+(-b)j+(-c)k = 0 si cel putin unul dintre coeficienti, unu, cel al lui v, nu se anuleaza.