Fie numerele reale

a.i.

. Sa se arate ca:

.

[Citat]

(Ce se intampla in cazul n=2?)
(Ce se intampla in cazul n=3? Care este solutia in acest caz?)

Fara a rezolva ceva, rescriu folosind literele x,y,z,... (de toate sunt n la numar) cu
x,y,z,... > 0
si ridic la patrat in inegalitatea de demonstrat.

Observam ca daca in plus fata de legatura data cerem x=y=z=... atunci fiecare fractie este (n-1)/n,
deci 1+x = ... = n/(n-1) = 1 + 1/(n-1),
deci x = ... = 1/(n-1) .

Banuim ca inegalitatea de demonstrat este stransa in acest caz.

Aplicam inegalitatea dintre media aritmetica si cea (h)armonica, doar ca sa vedem de ce dam. Rezulta

Inseamna ca ne-am intrecut cu gluma la aplicarea inegalitatii dintre cea mai tare si cea mai slaba medie.

Trebuie deci sa intelegem mai bine conditia de legatura.
Inmultim cu numitorul comun si dam
-> pe o parte (stanga) de suma din produse (1+y)(1+z)... unde in acest produs lipseste factorul (1xx)
si
-> pe cealalta parte (dreapta) de (n-1)(1+x)(1+y)(1+z)...

Desfacem parantezele!
Comparam dupa grad.
Grad 0: In prima parte 1 apare de n ori, in a doua de (n-1) ori. Ramane pe stanga.
Grad 1: In prima parte x apare de n-1 ori, in a doua de (n-1) ori. Se reduce!
Grad 2: In prima parte xy apare de n-2 ori, in a doua de (n-1) ori. Ramane pe dreapta. (O data.)
Grad 3: In prima parte xyz apare de n-3 ori, in a doua de (n-1) ori. Ramane pe dreapta. (De doua ori data.)

si asa mai departe...

Am vrea acum sa putem compara variante "homogene" ale lui
" IE( 1/2, 1/2 ) aplicat pe x,y,z, ... " si ale lui

" IE( 1,1,...,1 ) aplicat pe x,y,z, ... " unde

... Trebuie sa ma opresc aici...

Am cautat pe net ceva in legatura cu acest lucru care sa fie cat de cat accesibil. N-am gasit (pentru nivel de liceu). Dar poate ca totusi trebuie sa inserez:
http://www.facstaff.bucknell.edu/pm040/PennState/Slides/greene.pdf

Avem o poza neastepatata.
(Acum cateva zile am avut o problema de numarare cu sase cai frumosi, pentru care se putea face o poza ca cea inserata in acest articol de inegalitati.)

Literatura:
http://en.wikipedia.org/wiki/Maclaurin's_inequality
http://en.wikipedia.org/wiki/Newton's_inequality
http://www.artofproblemsolving.com/Resources/Papers/KedlayaInequalities.pdf
http://www.artofproblemsolving.com/Resources/Papers/MildorfInequalities.pdf

Intelegerea inegalitatilor dintre polinoame simetrice este esentiala pentru olimpiada.
Cele doua pdf-uri pomenite mai sus sunt excelente, pe vremea mea nu am avut nici o sansa sa gasesc cat de cat sistematic prezentate lucrurile utile in lupta contra inegalitatilor in olimpiade. Singura salvare a fost aplicarea inegalitatii lui Jensen, cu care am avut bune sanse de atac in multe cazuri. Dar nu intotdeauna. In cazul de fata a fost salvator sa stiu ce pot folosi, in orice caz propozitia

<< in inegalitatea de demonstrat ma pot ajuta de faptul ca E(1) nu apare, apoi E(1,1) apare si domina atat E(1,1,1), E(1,1,1,1), ... cat si ceea ce este de aratat sub n/2 . Ramane un calcul usor.

Cele doua pdf-uri sunt excelente!

Spiritul liber in care aceste articole sunt oferite lumii intregi este remarcabil!
(Nu este ceva evident, nici macar natural.)

Am oricum tot respectul pentru Kiran Kedlaya pentru modul liber in care ofera toate propriile articole de inteles matematica.
Hörmander nu a facut niciodata asa ceva. Gurile rele spun ca dupa ce a demonstrat ceva, prezentarea demonstratiei era facuta de a nu intelege unde se afla ``sistemul de gandire din spatele ei''.
Dar desigur ca demonstratia era estetica si ireprosabila. Foarte posibil, acest lucru nu era voit, ci doar o necesitate a timpului tinand cont de dorintele editurilor de baga cat mai mult in cat mai putine pagini. Si azi e la fal, dupa ce omul isi pune cercetarea in 26 de pagini bine compactificate, mai vine cererea de a le reduce la 12...

Dupa parerea mea se foarte merita sa se intelega inegalitatile, asa cum sunt ele de exemplu prezentate de catre Mildorf si Kedlaya in legaturile (link-urile) de mai sus.

Nu numai ca lucrurile vin sistematizat, eu am avut chiar impresia unui ``algoritm'' dupa citire...
Si azi, dupa regasire pentru a le plasa ca referinta am acelasi gust...

Uitandu-ma mai atent pe rezolvare ,din pacate, cred ca e gresita (sper sa nu am dreptate ca Solutia e destul de frumoasa). Nu ar trebui cumva sa avem f(s)>=1 (atunci cand am folosit Maclaurin) ? (se vede destul de bine in cazul n=3)

Mi-am adus aminte de faptul ca ceva era pe dos.
Trebuie sa mai vad o data ce am facut...

[Citat]

pentru cazul n=3 avem de demonstrat asa:

Fie
a = 1+x
b = 1+y
c = 1+5
trei numere cu x,y,z > 0 legate de
1/a + 1/b +1/c = 2, i.e.
1/(1+x) + 1/(1+y) +1/(1+z) = 2


Sa se arate ca
a + b + c >= ( radical(x) + radical(y) + radical(z) )^2 .

Sa luam acum explicit numerele
x=y=1/4, z=3/2.
Atunci
a=b=5/4 si c=5/2. Deci

1/a + 1/b + 1/c = 4/5 + 4/5 + 2/5 = 10/5 = 2 .

Atunci a+b+c = 5 pe de o parte.
Pe de alta parte, ceea ce este la patrat pe partea cealalta,
( radical(1/4) + radical(1/4) + radical(3/2) )^2
care este cam
(21:07) gp > ( sqrt(1/4)+sqrt(1/4) + sqrt(3/2) )^2
%4 = 4.949489742783178098197284075

Deci inegalitatea este satisfacuta.
Sa vedem ce fac mai departe (pe acest caz particular).

... trimit, iau trenul si incerc sa revin ...

Sa mergem mai departe cu exemplul de mai sus si cu computerul la mana.
Trebuie sa ma dumiresc ce am facut...


sage: X = 1/4
sage: Y = 1/4
sage: Z = 3/2
sage: a = X+1
sage: b = Y+1
sage: c = Z+1
sage: 1/a + 1/b + 1/c
2

sage: a+b+c > ( sqrt(X) + sqrt(Y) + sqrt(Z) ).n() ^2
True

sage: S = sqrt( ( X*Y + Y*Z + Z*X ) / ( 1+1+1) )
sage: S.n()
0.520416499866533


Bun, deci avem in mana un S care este peste 1/2.

sage: X * Y * Z < S.n()^3
True

sage: (X*Y*Z).n(), S.n()^3
(0.0937500000000000, 0.140946135380519)

sage: f(s) = 3*s^2 + 2*s^3

sage: f(S).n()
1.09439227076104

sage: 1 < f(S).n()
True

sage: (sqrt( X*Y ) + sqrt( Y*Z ) + sqrt( Z*X ) ).n()
1.47474487139159


Da, am desigur inegalitatea pe dos, f(S) >= 1 = f(1/2) .
Din pacate, de aici rezulta S >= 1/2 . Cu aceste jaloane, corectura celor de mai sus arata asa:

Inegalitatea de demonstrat mai este de demonstrat mai departe.
In ultima linie, inegalitatile se bat cap in cap!

Trimit si mai citesc ca sa ma dumiresc.
Multumescu mult pentru atentia in urmarirea falsei demonstratii, incerc sa-mi corectez repede argumentul, daca e posibil...

Si eu va multumesc pentru interes !

Am gasit aceasta problema rezolvata in cazul n=3(cautam problem asemanatoare pentru a avea alte idei). In fine, cazul general e exact la fel:
Din C.B.S. avem:

In prima paranteza folosim relatia data in ipoteza etc.
Multumesc domnului gauss pentru interesul si straduinta de a rezolva problema.

Am incercat putin, dar nu mi-a iesit cazul de egalitate. Ma poate ajuta cineva?:D

Mi-a venit ideea :D (a pornit de la cazul particular n=3) ! Multumesc celor care s-au straduit la problema!

Acum am v?zut

Aceasta este o problem? din GM, propus? în cadrul concursului GM ?i viitoriolimpici, la care termenul de trimitere a solu?iilor este 31 martie 2013!