Buna ziua! Sunt un copil de clasa a VIII-a pasionat de matematica. Mie imi place foarte mult sa fac materia de liceu.
Problema mea este la definitia limitei unui sir. Nu prea o inteleg si am vazut probleme care se rezolva cu ajutorul acestei definitii. Aceasta este definitia:

Se spune ca sirul de numere reale (x indice n) indice n are limita daca exista x apartine dreptei reale astfel incat pentru orice vecinatate V a lui x exista un numar natural n(V) cu proprietatea ca pentru orice n >= n(V) avem x indice n apartine lui V
Spunem atunci ca x este limita sirului (x indice n) indice n apartine lui N.

Multumesc!

[Citat] Buna ziua! Sunt un copil de clasa a VIII-a pasionat de matematica. Mie imi place foarte mult sa fac materia de liceu. Problema mea este la definitia limitei unui sir. Nu prea o inteleg si am vazut probleme care se rezolva cu ajutorul acestei definitii. Aceasta este definitia: Se spune ca sirul de numere reale (x indice n) indice n are limita daca exista x apartine dreptei reale astfel incat pentru orice vecinatate V a lui x exista un numar natural n(V) cu proprietatea ca pentru orice n >= n(V) avem x indice n apartine lui V Spunem atunci ca x este limita sirului (x indice n) indice n apartine lui N. Multumesc!

Pasiune? Excelent, pagina de fata are deci un sens!

O sa incerc sa scriu in limba romana cele de mai sus, asa cum le intelege si digera gandirea umana. (Nu obligatia de a scrie cartea in cat mai putine pagini. Ambele lumi au avantajele si dezavantajele lor.)

Copiez cele de mai sus si inserez in aceeasi culoare cuvinte noi.


Definitie:
Se spune ca sirul de numere reale
( x(n) )
are limita daca exista x din IR astfel incat ( x(n) ) converge la x.

Nu am facut altceva decat o delegatie la o noua definitie.


Se spune ca sirul de numere reale
( x(n) )
converge la x,
daca si numai daca

.. pentru orice vecinatate V a lui x / gandita ca interval ( x-putin, x+putin )

.... exista un numar natural n(V) (un index al sirului care depinde de putinul ales din ce in ce mai ambitios, acest putin este o precizie de aproximare)

...... cu proprietatea ca pentru orice n >= n(V) (cu proprietatea ca de la indicele prielnic de mai sus)

........ avem x(n) in V (cu alte cuvinte, de la un indice propice anume, toti termenii sirului intra in vecinatatea V = ( x-putin, x+putin ), deci il aproximeaza pe x cu eroare de cel mult "putin").


Acesta este desigur doar un inceput de disutie.
Daca mai sunt intrebari la acest subiect, cu incredere mai departe!

Imi explicati mai amanuntit cine este acel n(V) va rog frumos, ca nu prea am inteles? Multumesc!

[Citat] Se spune ca sirul de numere reale (x indice n) indice n are limita daca exista x apartine dreptei reale astfel incat pentru orice vecinatate V a lui x exista un numar natural n(V) cu proprietatea ca pentru orice n >= n(V) avem x indice n apartine lui V Spunem atunci ca x este limita sirului (x indice n) indice n apartine lui N.

Ciudat, ca sa nu zicem...comic !



Dar, ...replica e magistrala.

[citat]

.... exista un numar natural n(V) (un index al sirului care depinde de putinul ales din ce in ce mai ambitios, acest putin este o precizie de aproximare)

...... cu proprietatea ca pentru orice n >= n(V) (cu proprietatea ca de la indicele prielnic de mai sus)

........ avem x(n) in V (cu alte cuvinte, de la un indice propice anume, toti termenii sirului intra in vecinatatea V = ( x-putin, x+putin ), deci il aproximeaza pe x cu eroare de cel mult "putin").

[Citat] Imi explicati mai amanuntit cine este acel n(V) va rog frumos, ca nu prea am inteles? Multumesc!

Eiii, trebuie sa te straduiesti mai mult sa intelegi. S-a explicat- n(V) este un indice incepand de la care toti termenii sirului intra in vecinatatea V.
Dar, s-ar pune niste intrebari:
-este clar ce reprezinta un SIR DE NUMERE REALE? Da exemple.
-E clar ce inseamna indicele sau rangul unui termen dintr-un sir??
-e clar ce inseamna o vecinatate? da exemple.
-e clar cum determini care termeni ai unui sir apartin unei vecinatati?
Pentru a intra mai in profunzime trebuie LUAT UN EXEMPLU.

F. imp: n(V)-ul acela NU ARE O FORMULA IN CAZUL GENERAL. Conteaza doar EXISTENTA SA!


Sa luam un exemplu simplu: sirul x_n=1/n
adica x_1=1,
x_2=1/2, termenul de indice 2
x_3=1/3, termenul de indice 3
x_4=1/4,
x_5=1/5,....,
x_100=1/100, termenul de indice 100
....
x_n=1/1.000.000, termenul de indice un milion etc etc.
Intutivi limita sa este zero, deoarece termenii sirului sunt din ce in ce mai apropiati, ca valoare, de zero, pe masura ce indicele lor (n) creste tot mai mult(tinde catre infinit).

Riguros, pentru a demonstra ca limita este zero, folosim definitia.
Trebuie sa aratam ca :
pentru orice vecinatate V a lui zero,
exista un indice notat n(V),
astfel incat pentru toti indicii n>=n(V),
avem x_n apartine lui V !


O vecinatate a lui zero este un interval care-l contine pe 0, si o sa-l luam simetric, pentru mai multa claritate.
Deci V este de forma(-a,a), cu a>0.
Exemple de vecinatati ale lui 0:
V1=(-1,1), V2=(-1/2,1/2), V3=(-1/5,1/5), V4=(-1/10,1/10).Ok?
Acum sa luam o vecinatate particulara, de pilda V=(-10,1/10)
Sa aratam, conform definitiei, ca exista un indice n(V)
astfel incat pentru orice n>=n(V)
sa avem x_n apartine V.

Cum il gasim pe n(V)?
Pai o sa plecam de la conditia x_n apartine V
Ce-nseamna asta? Pai ne uitam cine este x_n si cine este V:
Conditia este 1/n apartine(-1/10,1/10)
Incadreaza cu inegalitati
Observa ca inegaliattea din stanga e automat verificata
Ia inegalitatea din dreapta
Scoate-l pe n

Iti da n>=10?? Foarte bine!
Ia n(V) cautat chiar egal cu 10(valoarea minima a lui n care iti verifica inegalitatea) : n(V)=10
Observa acum ca, daca n depaseste n(V),n depaseste 10, si are loc x_n apartine V.
E clar??

Apoi, e clar ca, daca se schimba vecinatatea, se schimba si n(V)???
Incearca cu vecinatatea (-1/100,1/100)
Cat iti da n(V)

Incearca ca (-1/200,1/200)
Cat iti da n(V)??

Incearca apoi, cu o vecinattaea ARBITRARA (-a,a), a un numar neprecizat, dar pozitiv oarecare.
Cand pui conditia x_n apartine (-a,a), la ce se ajunge?
La n>1/a!!

Exista astfel de numere naturale, pentru orice a?? Bineinteles!!
Pe cel mai mic dintre ele il vei lua drept n(V)!(daca vrei, n(v) are o fornula cu parte intreaga, dar nua sta este esential)
Deci n(V)>=a/a
Si daca n>=n(V)
Din tranzitivitate vei avea n>1/a!
Si va avea loc definitia limitei!!

Spune unde nu iti este clar.

Ideea e ca trebuie sa fii obisnuit sa lucrezi cu cantitai/obiecte matematica oarecare, notate prin litere, fara a le cunoaste valoarea concreta. Gimnaziul nu prea-ti dezvolta asta.

Eu cred ca tu te asteptai ca n(V) acela sa aiba o formula concreta. Ei bine, nu are, in cazul general.
Ideea e ca el trebuie doar sa EXISTE, pentru ca sirul sa aiba limita.
Bineinteles, daca iei un sirt concret, de ex x_n=1/n, poti gasi o formula concreta pentru n(V), in functie de vecintate.

Oricum, pasiunea ta este de felicitat, daca in clasa a -8-a, tu incerci sa intelegi definitia limitei unui sir!! Cu perseverenta o sa o intelegi!

Va multumesc ca ati avut rabdare si mi-ati explicat definitia limitei unui sir. Acum am inteles-o!