Daca a+b+c=3, sa se arate ca [(1+a^2)/(1+b)]+[(1+b^2)/(1+c)]+[(1+c^2)/(1+a)]?3, oricare ar fi a, b, c >0
Va rog mult sa ma ajutati cu acest exercitiu pentru ca de o ora si jumatate aproximativ ma straduiesc sa il rezolv, insa ajung intr-un punct din care nu mai pot continua si ma gandesc ca poate nu am gasit rezolvarea potrivita...

[Citat] Fie a,b,c > 0 trei numere reale cu legatura a + b + c = 3 . Sa se arate ca (1+a^2)/(1+b) + (1+b^2)/(1+c) + (1+c^2)/(1+a) ? 3,

Rezolvarea potrivita presupune o oarecare experienta cu astfel de ghicitori.
Eu am vazut multe astfel de lucruri.
Dupa ce va fi trecut acel lucru inspaimantator de maine care cere de urgenta solutiile, rog totusi a se mai revizui planul de atac si modul in care se poate aborda o astfel de problema. Este singura sansa de a invata ce si cum se face in astfel de cazuri.

In primul rand ma supara asimetria.
Asa ca as dori sa "mai schimb" din numitori. Pot face acest lucru?
(Aceasta intrebare este naturala, mai ales ca am vazut direct ca pot face acest lucru.)
In primul rand rog a se intelege inegalitatea lui Cebasev in doua moduri.
Primul mod este cel riguros,
http://en.wikipedia.org/wiki/Chebyshev's_sum_inequality
cel de-al doilea este cel care ne face sa nu mai uitam inegalitatea, are de-a face cu un exemplu.
Sa zicem ca luam numerele
0, 1, 2
si numerele...
0, 1, 2
(in lipsa mea de o inspiratie mai buna).
Vrem sa calculam toate expresiile de forma
0.0 + 1.1 + 2.2 = 0+1+4 = 5
0.1 + 1.0 + 2.2 = 0+0+4 = 4
0.2 + 1.1 + 2.0 = 0+1+0 = 1
si celelalte... (3! posibilitati)
Inmultirea am scris-o cu un punct.

Care este valoarea cea mai mare? Cea in care luam in ambele cazuri numerele in aceeasi ordine!

Care este valoarea cea mai mare? Cea in care luam din prima linie numerele in ordine crescatoare, din a doua linie in ordine inversa!

Trecem acum la problema noastra. Sa zicem ca plecam cu a,b,c ca mai sus.
Fara a restrange generaliatea, putem sa le luam astfel incat sa fie asa
a, b, c
in ordine crescatoare.

Atunci
1+aa, 1+bb, 1+cc
sunt trei numere care vin in aceeasi ordine crescatoare.

Atunci, paralel,
1/ (1+a), 1/(1+b), 1/(1+c)
sunt trei numere care vin in aceeasi ordine DEScrescatoare.

Din Cebasev stim ca dam de cel mai mic lucru daca "combinam" ordinea crescatoare cu cea descrescatoare. Acum problema se rezolva instantaneu: