Se considera punctele coliniare A, B, C in aceasta ordine.Fie M, N, P mijloacele segmentelor [AB], [BC], [AC] si O un punct oarecare in plan. Sa se arate ca [MN], [BP] au acelasi mijloc<=> MN(vector)+BP(vector)=2MP(vector)

Va rog mult sa ma ajutati cu aceasta problema urgent pentru ca am nevoie de ea maine!

[Citat] Se considera punctele coliniare A, B, C in aceasta ordine.Fie M, N, P mijloacele segmentelor [AB], [BC], [AC] si O un punct oarecare in plan. Sa se arate ca [MN], [BP] au acelasi mijloc <=> MN(vector) + BP(vector) = 2MP(vector)

M este mijlocul lui AB daca si numai daca are loc relatia
OM = (1/2)(OA + OB) .
Totul se poate rezolva in acest limbaj greoi.
Oamenii prefera insa sa scrie in aceste cazuri 2M = A+B , limbajul devenind mai simplu (daca stim ce facem cand facem acest lucru).

Prefer insa sa dau solutia "intr-o dimensiune", cu care ne scapam de astfel de probleme.

Daca A,B,C sunt coliniare, ele sunt pe o dreapta.
(De exemplu abscisa. Luam pur si simplu asa abscisa.)

Notam cu a,b,c coordonata (e doar una) pentru A,B,C.
La fel cu m,n,p pentu M,N,P.

Desigur ca
m = (a+b) / 2
n = (b+c) / 2
p = (a+c) / 2

Mijloacele coincid daca si numai daca
(m+n) / 2 = (b+p)/2 .
Echivalent: a+2b+c = 2b+a+c .
Echivalent: a = b.

Cealalta relatie este (n-m) + (p-b) = 2(p-m).
Echivalent: (c-a)/2 -b = c-b .
Echivalent: (c-a)/2 = c .

Hm... MN sau NM in enunt?

[Citat] [Citat] Se considera punctele coliniare A, B, C in aceasta ordine.Fie M, N, P mijloacele segmentelor [AB], [BC], [AC] si O un punct oarecare in plan. Sa se arate ca [MN], [BP] au acelasi mijloc <=> MN(vector) + BP(vector) = 2MP(vector) M este mijlocul lui AB daca si numai daca are loc relatia OM = (1/2)(OA + OB) . Totul se poate rezolva in acest limbaj greoi. Oamenii prefera insa sa scrie in aceste cazuri 2M = A+B , limbajul devenind mai simplu (daca stim ce facem cand facem acest lucru). Prefer insa sa dau solutia "intr-o dimensiune", cu care ne scapam de astfel de probleme. Daca A,B,C sunt coliniare, ele sunt pe o dreapta. (De exemplu abscisa. Luam pur si simplu asa abscisa.) Notam cu a,b,c coordonata (e doar una) pentru A,B,C. La fel cu m,n,p pentu M,N,P. Desigur ca m = (a+b) / 2 n = (b+c) / 2 p = (a+c) / 2 Mijloacele coincid daca si numai daca (m+n) / 2 = (b+p)/2 . Echivalent: a+2b+c = 2b+a+c . Echivalent: a = b. Cealalta relatie este (n-m) + (p-b) = 2(p-m). Echivalent: (c-a)/2 -b = c-b . Echivalent: (c-a)/2 = c . Hm... MN sau NM in enunt?

In carte scrie MN(vector)

Cer scuze, am tiparit fara hartie.
Este clar ca am gresit la calcule, deoarece daca iau a=b=c=1 totul trebuie sa fie bine. (Toate punctele intra sub A, relatia vectoriala este in particular satisfacuta, nu ca la mine mai sus.)

Ma corectez:

[Citat] Se considera punctele coliniare A, B, C in aceasta ordine.Fie M, N, P mijloacele segmentelor [AB], [BC], [AC] si O un punct oarecare in plan. Sa se arate ca [MN], [BP] au acelasi mijloc <=> MN(vector) + BP(vector) = 2MP(vector) M este mijlocul lui AB daca si numai daca are loc relatia OM = (1/2)(OA + OB) . Totul se poate rezolva in acest limbaj greoi. Oamenii prefera insa sa scrie in aceste cazuri 2M = A+B , limbajul devenind mai simplu (daca stim ce facem cand facem acest lucru). Prefer insa sa dau solutia "intr-o dimensiune", cu care ne scapam de astfel de probleme. Daca A,B,C sunt coliniare, ele sunt pe o dreapta. (De exemplu abscisa. Luam pur si simplu asa abscisa.) Notam cu a,b,c coordonata (e doar una) pentru A,B,C. La fel cu m,n,p pentu M,N,P. Desigur ca m = (a+b) / 2 n = (b+c) / 2 p = (a+c) / 2 Mijloacele coincid daca si numai daca (m+n) / 2 = (b+p)/2 . Echivalent: a+2b+c = 2b+a+c . Echivalent: Asa este. Cealalta relatie este (n-m) + (p-b) = 2(p-m). Echivalent: (c-a)/2 +p-b = c-b . Echivalent: (c-a)/2 +(c+a)/2 = c . Echivalent: Asa este.

Cele doua lucruri au deci loc intotdeauna, ele sunt echivalente.