O mica intrebare.. Daca intr-un exercitiu se cere sa se arate ca un sir anume ste convergent la zero ..se arata ca limita este finita(definitia) sau se aplica proprietatea lui Weierstrass??

[Citat] O mica intrebare.. Daca intr-un exercitiu se cere sa se arate ca un sir anume ste convergent la zero ..se arata ca limita este finita(definitia) sau se aplica proprietatea lui Weierstrass??

La care proprietate v? referi?i?

proprietatea lui Weierstrass..aceea cu ''orice sir marginit si monoton este convergent''.

Cred c? ar fi mai bine s? ne spune?i despre ce exerci?iu este vorba.

Sa se arate ca sirul,dat prin termenul general a_n=n/(n^2+1) este convergent la 0.

Pute?i folosi un criteriu de compara?ie:

eu ma gandeam daca merge cu faptul ca limita din acel sir este egal cu 0?

Dam la numitor factor comun pe n:

Altfel, mai pe scurt, foloseai criteriul cu polinoame sau mai puteai folosi criteriul de convergenta cu epsilon.

[Citat] eu ma gandeam daca merge cu faptul ca limita din acel sir este egal cu 0?

Tocmai asta trebuie sa demonstram...


Problema este una de estimare, ca mai sus incadram sirul intre 0 si 1/n,

sau una de folosit proprietatea de baza in lucrul cu limite, anume

lim a(n)/b(n) = ( lim a(n) ) / ( lim b(n) )

daca in membrul drept ambele limite exista si numitorul nu se anuleaza.
Pentru a ne pune in pozitia de aplicare a acestui lucru, impartim cel mai bine cu "seful" expresiei. Eu as imparti de exemplu si numaratorul si numitorul (fortat) cu "n patrat". Dam de o noua fractie in care limitele de mai sus exista, sunt 0 si 1, si putem aplica relatia de mai sus. Explicit:

Mai sus am vazut si o solutie in care imparteam "doar cu" n . Se poate, desigur....

Daca incercam sa aratam ca sirul dat este monoton si marginit, avem ceva de lucru, dar inca nu ne-am apucat de problema. Stim ce-i drept ca limita exista, dar problema ne cere care este limita, nu doar existenta ei. (Exista mai multe glume despre matematicieni care incep cu "Sa presupunem ca avem o conserva sferica desfacuta..." Nu este departe. Intotdeauna trebuie sa avem telul clar in fata: Ce trebuie aratat sau calculat?
Daca insa nu s-a vazut inca la clasa acest mod de impartire fortata cu "seful" espresiei, intrebarea este o intrebare buna, incercarea de "a aplica ceva" este intotdeauna laudabila!)