Fie

un sir divergent de numere reale cu proprietatea ca

este convergent. Sa se calculeze limita sirului

. Am incercat sa folosesc criteriul majorarii sau al clestelui, folosindu-ma de inegalitatea modulelor, insa nu prea mi-a iesit. Ma puteti ajuta va rog cu o idee? Multumesc anticipat.

Cum se scrie / vede functia f de la IR la IR definita de relatia

f(x) = |x-1| - |x+1| + 2x + 2

intr-un mod mai "normal"?

Se poate vedea vreun exemplu de sir ( a(n) ) NEconvergent cu proprietatea ca
( f(a(n)) )
converge? Daca se vede un astfel de exemplu, se vad poate mai multe.

Cum se poate argumenta pentru a vedea ca "motivul" pentru care am putut construi exemplele este "singurul motiv"?

[Citat] Cum se scrie / vede functia f de la IR la IR definita de relatia f(x) = |x-1| - |x+1| + 2x + 2 intr-un mod mai "normal"?

Profesorul meu din liceu obisnuia sa spuna: "explicitati modulele".

Adica iau pe cazuri in intervale? x intre

si vad pt fiecare cat da limita lui b_n ?

In primul rand se ia x-ul din functia de x izolata mai sus:
- pana la -1,
- intre -1 si 1
- dupa 1
si vedem ce expresii mai simplu de abordat obtinem.
Care sunt acestea?

Apoi facem graficul functiei.

Apoi incercam sa construim un exemplu de sir ( a(n) ) neconvergent cu proprietatea ca sirul ( b(n) ) ASOCIAT converge.
(Nu putem vorbi de sirul "b" fara un sir "a" de la care plecam.)

Apoi mai vedem.

divergent, deci

divergent, dar din cerinta stim ca e convergent, deci x nu poate fi din acest interval, nu?

, deci

pt a_n din acest interval.

, deci pt

, adica b divergent, deci sirul

nu poate fi in acest interval.

Nu e corect?
Nu am inteles de ce trebuie neaparat sa il aflam pe a_n, daca problema nu cere.

[Citat] ... deci sirul nu poate fi in acest interval. Nu e corect? Nu am inteles de ce trebuie neaparat sa il aflam pe a_n, daca problema nu cere.

Nu trebuie "sa il aflam pe a_n", nu mi-am dorit asa ceva.
(a_n) este un sir dat.
Mi-am dorit doar sa incercam sa vedem cum se poate ca plecand cu un sir (a_n) NE-convergent sa dam de un sir (b_n) convergent.

(Se pare din cele de mai sus ca putem intrezari macar motivul.)

Deoarece nu putem sa obligam pe (a_n) sa se afle in unul din intervalele
( -oo, -1 )
[-1,1]
( 1, +oo )
trebuie mai departe sa argumentam cu atentie.
Cum putem argumenta?

Propun sa ne legam de limita lui (b_n) si apoi mai vedem.
Cum putem incepe argumentarea?

Daca stim ca

e divergent, atunci limita sa este

sau nu are limita. Din cele de mai sus, pentru cazul 2, in care a_n se afla in intervalul (-1,1), e clar ca limita lui b_n e 2.

Pentru celelalte 2 cazuri, ar trebui sa argumentam de ce b_n e divergent, daca a_n ia valorile respective.

Corect?

Logica nu este tocmai de beton.

Incerc sa scriu cum trebuie sa ne gandim.
In primul rand trebuie sa stim exact ce tel avem, telul este de a gasi limita lui (b_n) in conditiile in care se intampla ce se intampla in enunt.

Din cele de mai sus se cristalizeaza raspunsul:

b := lim b_n
este 2 .

Demonstam acest lucru.
Presupunem prin absurd ca b (limita definita mai sus) nu este 2.
Atunci avem doua cazuri:
b < 2 sau
b > 2 .

In primul caz ne legam de vecinatatea V = ( -oo, 2 ) a lui b .
In al doilea caz ne legam de vecinatatea V = ( 2, +oo ) a lui b .

Deoarece ( b_n ) converge la b,
.. exista un N = N(V) ,
.... cu proprietatea ca pentru orice n > N(N)
...... avem b_n in V .

Sa observam acum ca pe V,
dupa restrictionare ca functie g,
g : Preimagine prin f a lui V -> V
(in ambele cazuri)
avem o functie liniara, bijectiva cu inversa liniara.
Sa notam cu h : V -> ... inversa.

Atunci a_n este h(b_n) pentru orice n > N(V),
deci a_n converge.
Contradictie.

Prespunerea facuta este falsa.
Rezulta ca (b_n) converge la 2.

Nota: Pe scurt solutia se poate scrie asa:
(b_n) converge la 2,
pentru ca altfel, daca converge la un b diferit de 2, local in jurul lui b avem o inversa liniara a lui f, deci aplicand aceasta inversa pe b_n (de la un moment dat) dam de convergenta lui (a_n). Contradictie.

AAA, deci dupa ce gasim limita 2 din cele 3 cazuri, trebuie sa demonstram ca nu mai poate fi alta. Da, e logic, nu mi-am dat seama.

Acum am v?zut

Aceasta este o problem? din GM, propus? în cadrul concursului GM ?i viitoriolimpici, la care termenul de trimitere a solu?iilor a fost 31 ianuarie 2013!