Studiati bijectivitatea functiei

cu:

Enuntul problemei lasa mult de dorit.
Sa inteleg din enunt ca exista o singura functie cu aceasta proprietate?
Trebuie sa demonstram asa ceva?

Sau de fapt enuntul este (dupa substitutia y = (3-x)/2 ) de forma:

Se da o functie f de la IR la IR cu proprietatea ca pentru orice y numar real are loc relatia:

2 f( 4y-3 ) + f(y) = 3-2y .

Sa se studieze daca f este / poate fi bijectiva.


Nuanta trebuie clarificata de catre cel ce propune problema.
Care este de fapt sursa problemei?

In momentul in care ne apucam de rezolvat asa ceva este bine sa ne punem urmatoarele intrebari:

Exista o functie de gradul I care satisface cele de mai sus? Daca da, este ea bijectiva? (Probabil ca dam de y -> (-2y+5) / 9 .)

Ne uitam mai indeaproape la "ergodicitatea" aplicatiei
T de la IR la IR care trimite y in Ty = 4y-3.
Cer scuze pentru faptul ca am omis parantezele. (T nu este o constanta, dar vreau sa scriu doar Ty nu T(y) pentru "T aplicat pe y"... Deformatie profesionala.)

Fie S aplicatia inversa a lui T.
Sy = (y+3)/4 .

Atunci problema leaga "doar" y de Ty pentru orice y.
De aceea este bine sa impartim IR in "orbite" al actiunii lui T pe IR.

Luam de exemplu punctul 0.
El este trimis prin aplicarea repetata a lui T in...
0, -3, -15, -65, -255, ...
El este trimis prin aplicarea repetata a lui S in
0, 3/4, 15/16, 63/64, ...

"Orbita" lui 0 este multimea acestor valori ce pot fi obtinute din 0 prin aplicarea repetata de T-uri sau S-uri.

Care este orbita lui 1 ? Ce rezulta despre f(1) ? (Functia de gradul I gasita satisface...?)

Se poate sa avem orbite finite in afara de orbita lui 1 ?

Daca alegem f(0) arbitrar, cum alegem valorile lui f pe orbita lui 0?

Casre sunt orbitele lui f? (Reprezentanti pentru ele...)

(Sper ca nu am gresit pe undeva la calcule...)

Nu prea inteleg cu orbitele. In fine, problema este luata din manualul de cls a X-a si singura idee pe care o am este sa consideram

si ecuatia data se scrie:

de aici nu prea stiu ce sa fac (am inlocuit pe x cu g(x) si cu g^(-1)(x), dar, nimic... )

[Citat] Nu prea inteleg cu orbitele. In fine, problema este luata din manualul de cls a X-a si singura idee pe care o am este sa consideram si ecuatia data se scrie: de aici nu prea stiu ce sa fac (am inlocuit pe x cu g(x) si cu g^(-1)(x), dar, nimic... )

Acel 2 din forma initiala a postarii a fost uitat aici sau pus in plus prima data?

Imi cer scuze...am uitat sa il pun acum...eram obosit cand am postat mesajul :D! (am modificat)

[Citat] Nu prea inteleg cu orbitele. In fine, problema este luata din manualul de cls a X-a si singura idee pe care o am este sa consideram si ecuatia data se scrie: de aici nu prea stiu ce sa fac (am inlocuit pe x cu g(x) si cu g^(-1)(x), dar, nimic...

Asa am facut si eu.
Doarece nu imi plac numitorii, m-am legat mai bine de functia inversa a lui g.
Din y = (3-x)/2 dam daca il extragem pe x de x = 3-2y .
Deci inversa este y -> 3-2y .
Aplicata de doua ori este y -> 3-2y -> 3-2(3-2y) = 4y-3 .

Problema se reformuleaza echivalent astfel:
Se da o functie f de la IR la IR cu proprietatea ca pentru orice y numar real are loc relatia (*):

2 f( 4y-3 ) + f(y) = 3-2y .

Sa se studieze daca f este / poate fi bijectiva.

As dori sa notez cu T(y) = 4y-3 si cu S(y) = (y+3)/4 (inversa) cele doua functii care ne vor interesa mai indeaproape mai departe.

Problema da o conditie (*) care leaga "doar" y si T(y).
Incercand sa vedem atunci deductiv, recursiv, inductiv toate dependentele date de formula, vedem ca relatia (*) leaga de fapt "lantul":

..., S(S(S(y))), S(S(y)), S(y), y, T(y), T(T(y)), T(T(T(y))), ....

Ne miscam in acest "lant" de la stanga la dreapta aplicand T-ul, de la dreapta la stanga aplicand S-ul. Este natural atunci sa ne intrebam:

(1) Care este formula generala pentru T compus cu sine insusi de n ori, n intreg?
(2) Se poate sa dam de un lant finit? In ce cazuri?

Sa clarificam mai intai aceste doua puncte.

(1)

si

(2) Nu cred ca putem avea un lant finit. Asta (cred ca) ar insemna ca exista k si p a.i.

ceea ce nu se poate! Sper sa nu gresesc....

Rezolvand ecuatia T(T(...(T(x))... )) = x dam doar de solutia 1.
Deci 1 -> 1 este singurul lant finit.

Desigur ca avem o singura sansa sa il alegem pe f(1) .

Sa impartima acum IR in clase de echivalenta fata de relatia de echivalenta
x ~ y
daca si numai daca
aplicand de mai multe ori (dau deloc) S sau T pe x putem da / dam de y.

O astfel de clasa de echivalenta o numesc "orbita".
(Terminologia este standard pentru cazul in care un grup, la noi ZZ actioneaza pe o multime, la noi IR, actiunea fiind
n * r = T^n(r) daca n este din ZZ si r din IR.)

Nu este usor sa parametrizam orbitele, dar din axioma alegerii putem alege cate un reprezentant din fiecare.
(Daca chiar vrem... Substitutia
x = y+1,
y = x-1,
muta axa reala intr-o copie a ei pe care actiunea lui T se "transporta" intr-un U care lucreaza mai simplu, Uy = 4y. Desigur ca 0 sta pe loc. Il "dam la o parte", trecem la scara logaritmica pe semiaxa reala pozitiva si dam de ceva cam ca IR modulo 1, (sau modulo ZZ pentru cei ce stiu ce scriu), adica doua numere reale devin echialente daca si numai daca difera print-un numar intreg. La fel si cu semiaxa negativa. Deci putem lua pentru y reprezantantii (-4,-1] U {0} U [ 1, 4) .
Ramane sa translatam cu 1 pentru a da de reprezentantii pentru actiunea lui T.
(Acel {0} se duce in {1} desigur...)

Pentru fiecare astfel de reprezentant "r" diferit de 1 alegem un numar real "f(r)" in care sa fie trimis de o functie pe care o construim in curand.
Desigur ca folosind legatura dintre r si T(r) (respectiv dintre r si S(r)) data de de conditia din problema putem unic extinde f-ul dat pe reprezentanti la intreg IR-ul.

(Nu am fi putut asa usor daca am fi avut de-a face cu ciclii...)

In acets mod am construit "toate" functiile f cu proprietatea data.
Desigur ca putem sa lezam din start injectivitatea, alegand 0 ca reprezentant si punand conditia ca f(0) sa fie f(1) .

De asemenea putem gasi o functie liniara care satisface conditia data. Deci exista si functi"i" bijective cu proprietatea data.

Nota:
Ma nedumireste cumva faptul ca problema apare la nivel de clasa a X-a.

Multumesc pentru ajutor, chiar daca nu am inteles mare lucru. In orice caz, o sa postez solutia (probabil maine) daca mi-o va face profesorul...macar atat sa faca (problemele din manual).

Inainte ca profesorul sa povesteasca solutia este bine sa se clarifice enuntul.

In primul rand nu se poate vorbi despre functiA f cu ... fara a se sti ca exista si este unica. Nu este cazul.

Cele de mai sus le-am scris doar pentru a se vedea ca oricum am da / impune f pe intervalele (-3,0] U [2,5) exista o unica functie care verifica relatia de mai sus. (Am translatat (-4,-1] U [1,4) cu 1.)

Ce este acum de studiat?

De la inceput am simtit ca ceva nu este in regula cu enuntul problemei (avand in vedere ca este un enunt de o problema de liceu...)