Izomorfism

Forum pro-didactica.ro [Căutare în forum]

Forum » Cereri de rezolvări de probleme » Izomorfism

[Subiect nou] [Răspunde]

[1]

Autor

Mesaj

Nisipeanu
Grup: membru
Mesaje: 78
28 Nov 2012, 01:17

[Trimite mesaj privat]

Izomorfism [Editează] [Citează]

Fie G=(-1,1) si corespondenta (x,y)->x*y=x+y/1+xy.Sa se arate ca : functia f

-1.1)->(0,infinit),f(x)=x+1/1-x este un izomorfism de la grupul (G,*) la grupul(R*, .)

OBS:LA grup avem multimea numerelor reale pozitive nenule, punct.

---
Ionut

gauss
Grup: Administrator
Mesaje: 6933
28 Nov 2012, 01:17

[Trimite mesaj privat]

[Editează] [Citează]

Corectez problema cu iritarea de care dau dovada din ce in ce mai des cand lipsesc parantezele.

Este clar ca
x+y/1+xy = x + y + xy
este o afacere, pe cand
(x+y) / (1+xy)
este o cu totul alta afacere?

[Citat]
Fie G = (-1,1) si operatia
(x,y) -> x*y = (x+y) / (1+xy) .

Sa se arate ca * este bine definita.
Sa se arate ca ( G, * ) este grup.
Sa se arate ca functia f : (-1.1) -> ( 0, oo ),

f(x) = (1+x) / (1-x)

este bine definita si realizeaza un izomorfism de la grupul (G,*) la grupul ( R*, . )

Se arata pe rand:

* este o operatie bine definita.

Functia f este bine definita.

Functia f este bijectiva, se calculeaza / gaseste formula pentru functia inversa g : ( 0, oo ) -> (-1,1) .

Se arata ca pentru orice x,y din G are loc relatia:

f( x*y ) = f(x) . f(y)

pur si simplu calculand
f( x*y )
= f( (x+y) / (1+xy) )
= ( 1 + (x+y) / (1+xy) ) / ( 1 - (x+y) / (1+xy) )
= ...

Din lema / teorema transportului de structura (care nu are voie sa lipseasca din nici un manual) rezulta in acelasi timp a (G,*) este grup si ca f implementeaza un izomorfism de grupuri.

La care din punctele de mai sus sunt neclaritati!
(Cu incredere, daca sunt neclaritati, stiu ca este greu de formulat, dar acesta este un prim pas important in intelegere.)

---
df (gauss)

[1]

Legendă:

Access general

Conţine mesaje necitite

47559 membri, 58582 mesaje.