Raspunsul este evident 1,dar imi da urat din conditia de parte stabila/element simetrizabil.Poate este posibila o alta solutie...

[Citat]

In primul rand vedem ca daca |a| > 1 putem usor sa facem numitorul sa se anuleze.
(Luam x,y de module egale 1/radical(|a|) si alegem cum trebuie semnele.)
Legea nu are sens pentru toate valorile lui x,y din G.

In al doilea rand vedem ca daca |a| <= 1, putem lua x=y care sa tinda la plus unu, observam in plus ca x o x = 2x / (1+axx) este functie continua de x marginita (de -1 si 1) deci limita

2 / (1+a)

exista si se afla in [ -1,1 ].
Deci a nu este -1 in primul rand, apoi dam de locul unde se afla inversa,

(1+a) /2 este din ( -oo, -1 ] U [ 1 , +oo ) deci
(1+a) este din ( -oo, -2 ] U [ 2 , +oo ) deci
a este din ( -oo, -3 ] U [ 1 , +oo ) deci
folosind |a| <= 1 suntem obligati sa luam doar a=1 in calcul.

Pentru a=1 vedem chiar un izomorfism de grupuri:

( IR, + ) -> ( G , o )

care trimite
r din IR
in
tanh(r) = ( exp(r) - exp(-r) ) : ( exp(r) + exp(-r) ) .

(Legea de adunare este asemanatoare cu cea pentru tan(r+s) in functie de tan(r) si tan(s), dar semnul care nu ne iese ne impune sa "twistam".
Exprimarea functionala pentru tanh( r+s ) in functie de x = tanh(r) si y = tanh(s) este cea din definitia operatiei pe G.)

In general la problemele de tipul asta punem intai conditia de existenta a elementului neutru de unde obtinem imediat parametrii si abia apoi verificam sa fie parte stabila.

In cazul de fata se vede usor ca

x o 0 = 0 o x = x

pentru orice x din G. Nu m-ar fi ajutat prea mult in a-l restrictiona pe alfa...
(Si daca ar fi fost altfel, as fi avut grija mai intai de buna definire. Dar asta este o chestie de gust.)

Buna ziua, am o problema din manualul de cl. a-XII-a:

Sa se cercetez daca G1 = {e, \beta }, G2 = {e, \beta }, G3= {e, \alpha, \beta }.

e = 1 2 3
1 2 3

\alpha = 1 2 3
1 3 2

\beta = 1 2 3
3 2 1


(e, \alpha, \beta apartin S3) sunt grupuri de permutari pe multimea {1, 2, 3}.

Buna ziua, tot o problema din manualul din cl. a XII-a:


Determinati x1, x2, x3, x4, x5 apartin {0, 1, 2, 3, 4, 5}, a. i. in multimea Z6 sa avem -37^ = xa^ , -1^ = x2^, 3^ = x3^, 23^ = x4^, 2002^ = x5^.

[Citat] Buna ziua, am o problema din manualul de cl. a-XII-a: Sa se cercetez daca G1 = {e, beta}, G2 = {e, beta}, G3= {e, alfa, beta}. e = 1 2 3 1 2 3 alfa = 1 2 3 1 3 2 beta = 1 2 3 3 2 1 (e, alfa, beta apartin S3) sunt grupuri de permutari pe multimea {1, 2, 3}.

Asociativitatea pe oricare din multimile de mai sus este satisfacuta automat, toate fiind submultimi in S3. Ca sa fie grupuri de permutari fiecare din multimi trebuie sa fie parte stabila a lui S3. Cum verificam, asa ceva?

Stiu raspunsul, dar nu ma pot abtine sa intreb care este diferenta intre G1 si G2?

[Citat] Buna ziua, tot o problema din manualul din cl. a XII-a: Determinati x1, x2, x3, x4, x5 apartin {0, 1, 2, 3, 4, 5}, a. i. in multimea Z6 sa avem -37^ = xa^ , -1^ = x2^, 3^ = x3^, 23^ = x4^, 2002^ = x5^.

Prin conventie, in Z6 pentru n numar intreg dat avem

unde r este restul impartirii lui n la 6. De exemplu

caci

Multumesc mult pentru raspunsuri, o seara frumoasa!