(eroare: eq.0/38547)
\[
\[
\begin{array}{l}
\lim\limits_{x\to \infty } x\left( {\left( {1+\frac{1}{x}}
\right)^{x}-e} \right)=\limits^{\infty \cdot 0} \frac{\left( {\left(
{1+\frac{1}{x}} \right)^{x}-e} \right)}{\frac{1}{x}}=\limits^{L'H}
\frac{\left( {\left( {1+\frac{1}{x}} \right)^{x}-e}
\right)'}{\frac{-1}{x^{2}}} \\
\left( {\left( {1+\frac{1}{x}} \right)^{x}-e} \right)'=\left( {\left(
{1+\frac{1}{x}} \right)^{x}} \right)'-e'=\left( {\left( {1+\frac{1}{x}}
\right)^{x}} \right)' \\
\mbox{Stim\, ca:}\,e^{\ln x}=x \\
\left( {e^{\ln \left( {\left( {1+\frac{1}{x}} \right)^{x}} \right)}}
\right)'=e^{^{\ln \left( {\left( {1+\frac{1}{x}} \right)^{x}} \right)}}\cdot
\left( {\ln \left( {\left( {1+\frac{1}{x}} \right)^{x}} \right)} \right)' \\
=e^{^{\ln \left( {\left( {1+\frac{1}{x}} \right)^{x}} \right)}}\cdot \left(
{x\ln \left( {1+\frac{1}{x}} \right)} \right)'=e^{^{\ln \left( {\left(
{1+\frac{1}{x}} \right)^{x}} \right)}}\cdot \left( {\ln \left(
{1+\frac{1}{x}} \right)+x\left( {\frac{1}{1+\frac{1}{x}}\cdot \left(
{\frac{-1}{x^{2}}} \right)} \right)} \right) \\
\mbox{Inlocuim\, la\, inceput:\, }\lim\limits_{x\to \infty }
\frac{e^{^{\ln \left( {\left( {1+\frac{1}{x}} \right)^{x}} \right)}}\cdot
\left( {\ln \left( {1+\frac{1}{x}} \right)+x\left(
{\frac{1}{1+\frac{1}{x}}\cdot \left( {\frac{-1}{x^{2}}} \right)} \right)}
\right)}{\frac{-1}{x^{2}}}=\lim\limits_{x\to \infty } \frac{e\left(
{\infty +0} \right)}{\frac{-1}{x^{2}}}=-\infty \\\]





se pare ca aceasta abordare nu prea vrea, ce-i fac?
nu vreau toata rezolvarea, cum pornesc ma intereseaza

Mie imi plac limitele la zero, motivul principal este faptul ca pot cere computerului o asa-zisa (si bine zisa) dezvoltare (aproximare) Taylor.
Nu scriu polinomul Taylor (inca), dar substitutia poate sa ne ajute oricum. Dupa aceea lucrurile se termina repede si fara efort. Dupa substitutia

y = 1/x

avem de calculat

Prima limita este (dupa ce substituim probabil ln(1+y) / y cu z si vedem ca y -> 0 corespunde lui z -> 1, prin definitia derivatei, exp'(1) = exp(1) = e.

A doua limita este fezabila.

cum de v-a venit idea de a separa principala fractie in 2? si cum de l-ati scris pe acel y sub acea forma, cum pot vedea asta?