Orice solutie este bine venita daca este solutie completa si o ia pe alta cale.
Sa vedem intai care este calea cea scurta. Fie x,y numere reale. Atunci
f(x,y)
= f(x,0+y)
= f(x,0) + ny
= f(0+x,y) +ny
= f(0,0) + mx + ny .
Daca nu am avea normarea (din precizarea lui f(1,1)) asta ar fi forma generala cu o constanta f(0,0) = c . Dar avem normarea, din cele de mai sus
m+n = f(1,1) = f(0,0) +m+n,
de aceea f(0,0)=0.
Am terminat.
Sa vedem acum ce putem face cu inductia.
Se pare ca facem inductie dupa x numar natural. Inainte a ne apucam de inductie trebuie sa stim inceputul inductiei, de aceea prima intrebare: Cum facem rost de f(0,0) ? (Sau de f(0,y)..)
Daca putem face acest lucru fara a face ceva "cam ca" in solutia de mai sus ar fi bine, dar nu vad cum fara a ne apropia periculos de o solutie care nu mai are nevoie de inductie.
Sa zicem insa ca avem inceputul. Problema mult mai dura este trecerea de la (x din) ZZ la IR. Cum facem aceasta trecere? (Fara a folosi idei care ne duc la sfarsit mai repede.)
Pentru a intelege "gaura de informatie" iata o problema asemanatoare care ilustreaza problema.
Sa se determine toate functiile f:IR -> IR cu noramrea f(1)=1 si cu proprietatea ca pentru orice x,y reale avem
f(x+y) = f(x) + f(y)
Ei bine, avem repede
f(0) = 0,
apoi pentru orice x real
f(x) = f(-x)
apoi pentru orice x real si m natural
f( mx ) = m f(x),
apoi desigur cele de mai sus pentru m intreg, apoi pentru m rational...
Cele de mai sus le putem demonstra repede prin inductie...
dar aici ne oprim, mai mult nu putem spune.
Am demonstrat ce-i drept ca f(m) = m f(1) = m pentru orice m natural, dar nu putem merge mai departe!
(Daca am avea continuitatea lui f am putea, dar problema nu vrea sa fie una de analiza, ci una de algebra (a spatiilor vectoriale peste numere rationale).)
Nu putem spune nimic pe drept, pentru ca exista o infinitate de functii.
Pentru a intelege cum se "construieste" o astfel de functie trebuie sa stim sau credem un rezultat din teoria spatiilor vectoriale, anume faptul ca orice spatiul vectorial peste un corp dat admite o "baza".
La noi, IR este spatiu vectorial peste Q (corpul numerelor rationale).
Ei bine, exista o baza B = { muuuuuuuuuuuuulte b-uri } (de cardinalitatea lui IR) cu proprietatea ca orice numar real r se poate scrie UNIC ca suma finita sub forma
r = mb + m'b' + ...
cu m,m', ... numere rationale (scalari) si cu b,b', ... din baza B.
Putem alege B astfel incat 1 sa fie in B. (Plecam cu sistemul independent {1} si il extindem la o baza.)
Ei bine, oricum alegem valori f(b), b in B, putem scrie unic / extinde functia f la IR prin regula
f( mb + m'b' + ... ) = mf(b) + m'f(b') + ...
(Suma de mai sus este finita.)
Am terminat acest intermezzo.
Intelegerea motivului pentru care idea de demonstratie prin inductie nu ajunge "fara altceva" nu este simpla, dar cu putina imaginatie se poate vedea "gaura" de informatie. Intelegerea acestui lucru este foarte importanta si se merita. Eu am aflat cele de mai sus de la Nic', un bun prieten cu o culoare deosebita a ochilor, stiu exact in ce sala pe langa care liceu din Bucuresti in ce an si cam pe la ce ora de dimineata... Ori de cate ori simt ca structura are liniar libertati ca cele de mai sus vad culoarea ochilor lui Nic', stiu de ce trebuie sa am grija. A fost instantaneu cazul si cand am citit postarea de fata...
Access general
Conţine mesaje necitite
