Fie punctele A,B,C cu afixele

Stabiliti natura patrulaterului OABC unde O este originea axelor.

Sursa: Culegere probleme de V. Schneider.

[Citat] Fie punctele A,B,C cu afixele Stabiliti natura patrulaterului OABC unde O este originea axelor. Sursa: Culegere probleme de V. Schneider.

Matricea cu elementele
-1 +2 -3
-2 -1 +2
-1 +1 -3
este inversabila, ea are determinantul 2.
De aceea daca alegem w1,w2,w3 trei puncte aiurea in plan, sistemul

z(A) = w1
z(B) = w2
z(C) = w3

in care in partea stanga avem formulele de mai sus pentru z(A),z(B),z(C) in functie (liniara) de z1,z2,z3

ei bine sistemul are solutie unica. Deci putem sa ne aranjam cu cele trei puncte z(A),z(B),z(C) cum vrem. Patrulaterul poate fi foarte general (sau foarte special). Presupun ca avem o greseala de tipar. Daca luam coeficientii sa fie

+1 +2 -3
-2 -1 +2
-1 +1 -3

atunci avem o dependenta liniara, z(C) - z(B) = z(A) - z(O)
ceea ce inseamna ca vectorii BC si OA sunt egali (aceeasi directie, aceeasi lungime), deci dam de un paralelogram.