Dac? nu folosi?i Latex, ca s? pot folosi butonul "Citeaz?" doar pentru o parte a mesajului postat, nu pot s? v? ajut.

Si pe mine m-a terminat la vremea mea conventia fizicienilor de a scrie repede matematica. Secretul este de a sti mereu ce obiecte sunt in mana, uneori fara a sti ce sunt ele exact.

Lucrurile devin mai clare (poate, ma indoiesc totusi) daca se face o legatura clara intre f si y. Fizicienii au din start conventia y = f(x), care este o propozitie care se citeste cam asa, explicat pe scurt:

y este o noua notatie pentru functia f,
f va fi aplicat mereu pe un x,
x este de acum incolo o variabila din domeniul de definitie al lui f,
daca voi deriva vreodata f-ul voi "deriva dupa x", scris in loc de f' ceva mai complicat,
dy / dx
unde d-ul difera de la fizician la fizician. Unii stiu ce scriu, altii nu.
De fapt si de drept ar trebui sa stea acolo un \partial (d rond).

Dar fizicienii scriu cu placere si un d drept.
Ei inteleg FORMAL de obicei relatia dy / dx = f'(x) dupa rescrierea (formala)
dy = f'(x) dx
ca un fel de tautologie. (Ea se citeste pe fibratul tangent, daca suntem exacti. Nici o sansa pana la facultate.)

Cred ca punctul se intelege cel mai bine cand se scrie explicit cine este y.
(Fizicienii scriu y=f(x) dar niciodata nu inteleg prin y "valoarea lui f in x", un numar deci, chiar mai rau, punctul se intelege si mai bine daca se scrie explicit cine este x, care este rolul lui x.)
Deja formalizarea acestui punct da atat de cap cu conventiile si notatiile, incat omul normal se intoarce repede la matematica in care se intampla ceva matematic.

Intr-adevar, in astfel de situatii apare notiuni de derivata totala, globala, diferentiala, ... Toate la timpul lor.

nu pricep partea "Fizicienii scriu y=f(x) dar niciodata nu inteleg prin y "valoarea lui f in x" " pai atunci ce inteleg ei? doar y=f(x)

Ei inteleg de fapt

"y este un sinonim pentru f SI pe f il scriem ca functie de x, variabila din domeniul lui f se noteaza cu x, de aceea in loc sa scriem simplu f' putem sa scriem mai complicat

lucru pe care putem sa il calculam in x, obtinand astfel o scriere mult mai pompoasa pentru f'(x) anume

in care acel (d rond) dupa x este notatie
si acel (x) este luarea valorii in x-ulcare este punct."

In orice caz, ei inteleg y=f cand scriu "y=f(x)".
Noi intelegem prin f(x) intotdeauna valoarea unei functii intr-un punct.
Ei inteleg intotdeauna prin "f(x)" ceva de forma "f este o functie si cand o vom aplica vreodata pe ceva general, acel ceva va fi de obicei variabila x".

Matematicienii au o problema asemanatoare cand definesc un polinom P in IR[X].
Ei bine, de obicei P se defineste print-o formula explicita,
P = X+7
de exemplu.
Acum intervine proprietatea de universalitate a inelelor de polinoamelor care spune ca daca avem un inel A (anneau) si un element x in A, atunci exista un unic morfism de evaluare "eval(x)", sau chiar "eval(x;A)", care duce X in x.
Desigur ca nici un om normal nu va scrie
eval(x)(P) = x+7 .
S-a incetatenit notatia
P(x) pentru eval(x)(P)
deci P(x) = x+7 .

Ei bine, daca acum luam in particular A = IR[X] si specificam elementul X "tautologic", atunci dam de relatia uneori greu de acceptat

P = P(X),

care citita corect sub forma
eval(X,IR[X])(P) = P(X) (Notatie)
nu este altceva decat tautologia P=P.

Cam acestea sunt radacinile notatiei si lucrului cu obiectele.

Pentru fizicieni este chiar mai imporant sa inteleaga cazurile in care x este de fapt o variabila compusa (cu mai multe componente), sa zicem
x = (s,t,u)
unde s,t,u sunt numere reale. x parametrizeaza astel poate un punct din spatiul fizic. Atunci o functie de x

f = f(x) = f(u,v,w)

(in notatie poate iritanta) are
- o derivata dupa u (ca in liceu)
- o derivata dupa v (ca in liceu)
- o derivata dupa w (ca in liceu)
- o derivata dupa x=(u,v,w) (ca la facultate), aceasta din urma combinand cele trei derivate pe componente. Cum? Este greu de explicat, dar poate usor de exemplificat. Exemplul vine pentru a explica ceva, nu pentru a intelege structura. Sa zicem ca f este un polinom de u,v,w. (Cu polinoamele putem aproxima multe foarte bine, ele sunt un exemplu bun.)
Prin liniaritate (derivatele sunt liniare, (f+g)'=f'+g' ar trebui sa fie asa indiferent ce derivari complicate avem la indemana), prin liniaritate asadar ne putem reduce la un monom.

(Nota de subsol. Chiar de subsol. Formula am scris-o respectand traditia romana folclorica cu aceste litere pentru a fi memorata mai usor, cer scuze, dar scopul de a trece de bac scuza sper mijloacele, oamenii au scuze ca nu retin ceva de forma "regula derivarii functiei compuse, regula lantului, regula lui Euler", dar nu au scuze daca nu retin formula de mai sus cu numele ei propriu.)

Multumesc pentru efortul depus in a scrie raspunsul. Sper ca aceste informatii (nu doar cele de mai sus, ci toate de pe acest site) ma vor ghida mai bine prin anii de facultate, si cu timpul poate voi reusi si eu sa dobandesc aceste cunostinte.