Se considera nr A= 3^1 + 3^2 + 3^3 + .... + 3^2011
a) Aratati ca A este un nr impar.
b) Calculati ultima cifra a nr A+1
c)Calculati restul impartirii nr A + 1 la 5

[Citat] Se considera numarul A = 3^1 + 3^2 + 3^3 + .... + 3^2011 (a) Aratati ca A este un numar impar. (b) Calculati ultima cifra a numarului A+1. (c) Calculati restul impartirii numarului A+1 la 5.

Am scris mai intai enuntul fara prescurtari inestetice si inutile.
(Sigur s-a castigat o droaie de timp la scriere.)

Puterile lui 3 au ultima cifa dupa cum urmeaza:

3^1 este 3, ulima cifra este 3.
3^2 este 9, ulima cifra este 9, ea se obtine ca ultima cifra din 3^1 * 3.
3^3 este 27, ulima cifra este 7, ea se obtine ca ultima cifra din 3^2 * 3.
3^4 este 81, ulima cifra este 1, ea se obtine ca ultima cifra din 3^3 * 3.

3^5 este ?3, ulima cifra este 3, ea se obtine ca ultima cifra din 3^4 * 3.
3^6 este ?9, ulima cifra este 9, ea se obtine ca ultima cifra din 3^5 * 3.
3^7 este ?7, ulima cifra este 7, ea se obtine ca ultima cifra din 3^6 * 3.
3^8 este ?1, ulima cifra este 1, ea se obtine ca ultima cifra din 3^7 * 3.

si asa mai departe.
Am scris semnul intrebarii pentru primele cifre (nu (neaparat) aceleasi) pe care le-am omis pentru ca nu ma intereseaza.
Vedem ca ultima cifra se repeta din 4 in 4 (cu perioada 4 ca sa ne exprimam mai elegant).

(a) Adunam de 2011 ori numere impare, dam "desigur" de un numar impar.
(Plecam cu primul, avem in mana un numar impar.
Adunam al doilea, impar+impar -> par, avem in mana un numar par.
Adunam al treilea, par+impar -> impar, avem in mana un numar impar.
si tot asa mai departe, par, impar, par, impar, ... )

(b) Grupam termenii in grupe de cate patru.
Primii sunt 3,9,27,81 . Ii adunam si ne facem ca stim doar ultima cifra. Suma este ?3 + ?9 + ?7 + ?1 = (?3+?7) + (?9+?1) = ?0 + ?0 = ?0 .

La fel si urmatorii patru. Tot cu 0 se termina suma.
La fel si urmatorii patru. Tot cu 0 se termina suma.
:
:

Ramane sa vedem care sunt ultimii termeni care raman negrupati intr-o ultima grupa de cate patru. Prima grupa se termina cu puterea a 4-a, a doua cu a 8-a, ... deci tot timpul cand se termina o grupa puterea corespunzatoare este un multiplu de 4.
Inseamana ca ultima grupa ii contine pe
3^2008 si pe cei 3 termeni premergatori.

Aunge sa adunam
3^2009 + 3^2010 + 3^2011
=
?3 + ?9 + ?7
=
?9 .

Daca mai adunam 1 dam de ultima cifra 0.

(c) Care este oare restul la impartirea cu 5 daca ultima cifra este zero?