Am o problema dar nu stiu daca intra in campul de rezolvari al Dvs
si anume:
Sa se determine cati termeni trebuie insumati pentru a afla suma seriei:

suma de la n=1 la infinit din (-1)^(n+1) inmultit cu fractie unu supra(2n+afa+beta+gama-1)
cu alfa=1,beta=1 si gama=3,cu cinci zecumale exacte
Multumesc mult

Daca tot stim de a(l)fa, beta, gam(m)a, putem sa scriem problema mai usor:

[Citat]

Intra foarte multe pe aceasta pagina...
Sa incercam impreuna, ca intra mai bine!

Nu o sa gasim locul EXACT in care avem aproximarea, pentru asta ne trebuie un computer. Dar o sa gasim un loc uman, de unde stim din considerente simple ca cele cinci zecimale "s-au stabilizat".

In primul rand:
Sumanzii au semnele alternate +, -, +, -, ...
sa ii grupam cate doi.

Ce suma obtinem in locul sumei alternate de mai sus?

am inteles am ajuns la:
[(1/3+1/5+1/7+......)-(1/4+1/6+1/8+...)]care apoi se inmulteste cu 1/2
dar mai departe nu mai stiu cum a fac?e vorba dfe cele 5 zecimale exacte
multumesc mult

eu m-am gandit la o rezolvare dar nu stiu daca e corecta:dupa datele problemei rezulta ca eroarea de aproximare este mai mica decat 0,000005 adica eroarea de aproximare sa fie maimica decat modulul primului termen ignorat deci din valoarea absoluta a expresiei 1/2ori 1/(n+3)< 0,000005 rezulta n>100003 deci de la n=100003 in sus este corect?

[Citat] eu m-am gandit la o rezolvare dar nu stiu daca e corecta:dupa datele problemei rezulta ca eroarea de aproximare este mai mica decat 0,000005 adica eroarea de aproximare sa fie maimica decat modulul primului termen ignorat deci din valoarea absoluta a expresiei 1/2ori 1/(n+3)< 0,000005 rezulta n>100003 deci de la n=100003 in sus este corect?

Ideea este intr-adevar corecta dar ar fi nevoie de ceva ajustari. 5 zecimale corecte nu inseamna eroarea de aproximare este mai mica decat 0,000005. Chiar si schimband pe acel 5 intr-un 1 tot nu merge.

Exemplu: eroarea de aproximare a lui 0,99999999 prin 1,0000000 este 0,00000001 dar cele doua numere nu au nici o cifra care sa coincida.

Ca sa putem spune ca avem 5 zecimale exacte trebuie sa calculam acele zecimale si sa vedem ca nu suntem intr-un caz similar cu exemplul de mai sus.

Banuiesc ca problema a fost propusa de fapt in ideea de a gasi suma seriei cu o eroare mai mica de 0,000001, dar a fost aleasa aceasta formulare care face problema mai dificila.

Ca sa putem termina problema va fi nevoie sa aratam ca suma seriei este exact

e foarte bine dar nu inteleg mai departe adica de unde a rezultat ln2/2-1/4?Si de fapt care este rezolvarea?

[Citat] am inteles am ajuns la: [(1/3+1/5+1/7+......)-(1/4+1/6+1/8+...)]care apoi se inmulteste cu 1/2 dar mai departe nu mai stiu cum a fac?e vorba dfe cele 5 zecimale exacte multumesc mult

Eu m-am gandit la gruparea
(1/3-1/4) + (1/5-1/6) + ...
care imbunatateste cu ceva gradul de convergenta. In acest mod stim cat de departe sa adunam ca sa dam de o aproximare suficient de buna.
In acest mod raspundem minimal la cerintele problemei. (Intr-un mod nesatisfacator, deoarece seria converge foarte incet.)

Cati termeni ar trebui adunati, pentru ca restul sa contribuie cu mai putin de 1 / 10? ?

Faptul ca se poate calcula 1 -1/2 +1/3 -1/4 + ... este un lucru cunoscut.
Putem sa incercam sa vedem cum (dar pentru inceput fara o demonstratie riguroasa) daca incercam sa integram formal de la 0 la y in

1 -x + x^2 -x^3 + ... = 1/(1+x)

Seria si integrala nu fac probleme pentru orice y in (-1,1), este un mic pas important faptul ca putem trece la limita cu y spre 1. (Caracterul alternat poate fi exploatat.)

multumesc mult
nu stiu cum dar m-am blocat in rationament(poate si de emotie)
Va rog foarte mult sa ma ajutati pana la final aratandu-mi complet rezolvarea
Poate apar in fata Dvs ca lenes dar nu ma pot descurca!Multumiri multe!

Sa se determine suma seriei

Solutia I Folosim seria de puteri

pentru x=1.

Solutia II Se arata usor ca seria este convergenta (de exemplu cu criteriul lui Leibniz pentru serii alternate). Fie

termenul general al sirului sumelor partiale ale seriei. Stiind ca

este convergent este suficient sa calculam limita subsirului

Expresia

este suma Riemann atasata functiei

pentru diviziunea si punctele intermediare standard ale intervalului [0,1], deci converge la

. Rezulta ca suma seriei este

Solutia III Se foloseste sirul

convergent la constanta lui Euler c.

Acum cand vad rezolvarea mi se pare foarte simpla.
Asa este evident!
Mii de multumiri!
SITEul Dvs este mai mult decat exceptional!

Incerc sa spun doar cateva lucruri in plus. (Dincolo de faptul ca putem calcula seria si in acest mod obtine o formula explicita mult mai usor de evaluat numeric. Pentru examen un lucru poate mai important, anume aspectul psihologic al pregatirii, ce este bine de facut si stiut inainte de a intra in sala, apoi al apucarii unor astfel de probleme, cand de multe ori enuntul nu spune explicit ce trebuie facut).

Problema vrea poate sa ilustreze faptul ca avem o convergenta foarte inceata.
O sa incerc acum cu calculatorul: Cod GP/PARI:


S(N) = 0.5* sum( n=1,N, (-1)^(n+1)*1./(n+2) )
?sumalt
0.5 * sumalt( n=1, (-1)^(n+1) * 1/(n+2.) )
log(2.) / 2
L = ( log(2.) - 0.5 ) / 2
for( N = 5*10^5 - 5 , 5*10^5 + 5, print( N, " -> ", S(N) ) )
for( N = 5*10^4 - 5 , 5*10^4 + 5, print( N, " -> ", S(N) ) )


Dupa copiere si plasare in interpreterul GP/PARI dam de:

? S(N) = 0.5* sum( n=1,N, (-1)^(n+1)*1./(n+2) )
%1 = (N)->0.5*sum(n=1,N,(-1)^(n+1)*1./(n+2))

? ?sumalt
sumalt(X=a,expr,{flag=0}): Cohen-Villegas-Zagier's acceleration of alternating series expr, X starting at a.
flag is optional, and can be 0: default, or 1: uses a slightly different method using Zagier's polynomials.

? 0.5 * sumalt( n=1, (-1)^(n+1) * 1/(n+2.) )
%2 = 0.096573590279972654708616060729088284040

? log(2.) / 2
%3 = 0.34657359027997265470861606072908828404

? L = ( log(2.) - 0.5 ) / 2
%4 = 0.096573590279972654708616060729088284038

? for( N = 5*10^5 - 5 , 5*10^5 + 5, print( N, " -> ", S(N) ) )
499995 -> 0.096574090282472666708671060969089283648
499996 -> 0.096573090278472650708607060713088259644
499997 -> 0.096574090280472654708615060729088291644
499998 -> 0.096573090280472654708615060729088291644
499999 -> 0.096574090278472658708607060745088259644
500000 -> 0.096573090282472642708671060489089283640
500001 -> 0.096574090276472678708455061785081507686
500002 -> 0.096573090284472614708967057689114275424
500003 -> 0.096574090274472714707967067689014276424
500004 -> 0.096573090286472570709695046953263105438
500005 -> 0.096574090272472766706951085368725288968

? for( N = 5*10^4 - 5 , 5*10^4 + 5, print( N, " -> ", S(N) ) )
49995 -> 0.096578590529984655258640061729128605550
49996 -> 0.096568590129968654618614460705087643912
49997 -> 0.096578590329972654698616060737088283924
49998 -> 0.096568590329972654698616060737088283925
49999 -> 0.096578590129976654618617660705088923912
50000 -> 0.096568590529960655258592061729047965550
50001 -> 0.096578589929996653098721653953514497558
50002 -> 0.096568590729932658218312086718893267257
50003 -> 0.096578589730032648219311986728892267357
50004 -> 0.096568590929888665497238635531036010108
50005 -> 0.096578589530084638061079697782320830233


Deja pe la 50 000 avem a cincea zecimala din cand in cand (din doi in doi pasi) pomenita. Pa la 500 000 avem a cincea zecimala fixata stabil.

Care este primul pas la care avem cele cinci zecimale (pomenite)?

Iata ce se intampla putin inainte de acel pas si la acel pas...
? for( N=39000 - 5, 39000+5, SN = S(N); print( N , " -> ", SN ); if( 0.09657 < SN & SN < 0.09658, print( "OK" ); break ) )
38995 -> 0.096580000947322072064706973774065682556
38996 -> 0.096567179777005645581297568163521552088
38997 -> 0.096580000618565685582323235488324752170
38998 -> 0.096567180105745172761810414975504239350
38999 -> 0.096580000289843016406845157674409395628
39000 -> 0.096567180434450985228956844254584771249
39001 -> 0.096579999961154059351460241429161085892
OK

Cele scrise de catre Pitagora mai sus sunt parte buna din adevar...