Aratati ca

, pentru orice n natural , n>2.

M-ar interesa mai mult sa vad daca se poate demonstra mai usor (fara a folosi nr complexe) folosind analiza.

Probabil ca ne ajunge sa stim doar aproximarea Taylor de ordin 3 (de fapt 4) cu rest Taylor in grad 5. Daca stim asa ceva, putem repede demonstra cu mana ca are loc:

(Noua ne ajunge pe (0,pi/2). Se ia functia diferenta, derivatele, pana cand putem decide semnul. Este exact primul moment in care derivata de ordin... nu se mai anuleaza in 0. Decidem atunci semnul derivatelor iterate in ordinea inversa a ordinelor lor.)

Apoi verificam inegalitatea data pentru n=3,4 ca sa ne apropiem mai vertiginos de locul unde inegalitatea este stransa. Probabil ca putem folosi ceva de forma
pi / n > 3/n = 2/n +1/n
si sa controlam cu 2/n acel 1/(n-1), 2/n > 1/(n-1),
si sa controlam cu ce ne ramane termenul cubic ramas.

[Citat] M-ar interesa mai mult sa vad daca se poate demonstra mai usor (fara a folosi nr complexe) folosind analiza.

Si de unde provine acest interes particular? Daca stiti deja cum se demonstreaza folosind numerele complexe, poate sunt cititori interesati sa va citeasca solutia.

Interesul era sa vad (sa stiu) daca se poate rezolva mai usor. Aceasta inegalitate se deduce usor din problema: "Daca z este o radacina de ordinul n a unitatii, diferita de 1, atunci

".

Folosim inegalitatea indicata mai sus de gauss

Este suficient sa aratam ca expresia finala din dreapta este mai mare decat

, ceea ce ar trebui sa fie destul de simplu.

[Citat] Interesul era sa vad (sa stiu) daca se poate rezolva mai usor. Aceasta inegalitate se deduce usor din problema: "Daca z este o radacina de ordinul n a unitatii, diferita de 1, atunci ".

Nu prea vad cum se deduce inegalitatea discutata din

care se scrie echivalent sub forma

.

Multumesc! Imi cer scuze! Am gresit mai sus (am scris 1/(n-1) in loc de 2/(n-1))