Fie

, distincte doua cate doua, astfel incat,

si exista

a.i.

Sa se arate ca imaginile geometrice ale numerelor

sunt varfurile unui dreptunghi.

Problema este din nou una in care trebuie sa exprimam tot ce ni s-a dat
din termeni algebrici
in intuitia normala geometrica.
Atunci terminam repede...

Notez cu Z1, Z2, Z3, Z4 cele patru puncte din planul real care corespund pentru z1, z2, z3, z4.
Ni se da ca ele se afla pe cercul unitate din acest plan (centrat in origine).

Sa mai consideram acum punctul P ce corespunde sumei p = z1+z2+z3+z4 .

Ce vrea conditia acea cu t de la noi?
Ea spune ca
- de la p = z1+z2+z3+z4 la (1-t)z1
- de la p = z1+z2+z3+z4 la (1-t)z2
- de la p = z1+z2+z3+z4 la (1-t)z3
avem aceasi distanta anume
|p - (1-t)z1| =
|p - (1-t)z2| =
|p - (1-t)z3| .

Deci cercul circumscris triunghiului nedegenerat (t nu e 1) cu varfurile
(1-t)z1
(1-t)z2
(1-t)z3
are centrul in p.
Ei bine, acest cerc este concentric (homotetie de centru 0 si raport 1-t) cu cercul cu varfurile
z1
z2
z3 .
Care are centrul in 0.
Deci p=0.
Deci z1+z2+z3+z4 = 0.
Deci centrul de greutate al patrulaterului inscriptibil Z1 Z2 Z3 Z4 este centrul cercului circumscris lui. De ce avem un dreptunghi (daca luam varfurile intr-o ordine convenabila) ?

Plecam cu Z1.
Ne uitam la Z2. Daca Z1 Z2 trece prin O, luam un alt varf pe post de Z2. (Renumerotam). Daca si acum Z1 Z2 trece prin O, avem un caz patologic, care poate trebuia eliminat din enunt. (Dam desigur de un dreptunghi degenerat. Care nu este chiar un dreptunghi. Este greu sa ii convingem pe cei de a VI-a ca avem undeva un unghi drept.)

Daca nu mai trece prin O luam mijlocul M12 al lui Z1 Z2.
Mai luam mijlocul M34 al lui Z3 Z4.
Atunci mijlocul lui M12 M34 este desigur centrul de greutate al patrulaterului.
Stim ca este O. In particular,
O M12 _|_ Z1 Z2 si
O M34 _|_ Z3 Z4 ,
deci cele doua coarde Z1 Z2 si Z3 Z4 sunt paralele.
Facem acum acelasi lucru cu Z1 Z4, unde schimbam eventual Z3 cu Z4 ca sa nu dam de o coarda ce trece prin O.

Deci patrulaterul dat este inscriptibil si are perechi de laturi paralele (este paralelogram). Deci e dreptunghi.

Multumesc pentru rezolvare! Am incercat si eu sa demonstrez ca p=0 (stiam faptul ca, daca |z1|=|z2|=|z3|=|z4| si z1+z2+z3+z4=0 atunci Z1(z1),Z2(z2),Z3(z3),Z4(z4) sunt varfurile unui dreptunghi) dar nu mi-a iesit ( am incercat sa scriu z1=z4*a, z2=z4*b, z3=z4*c, unde |a|=|b|=|c|=1, dar nimic!) !