|
|
|
|
iBac = materialul ULTRACOMPLET de pregătire pentru bac la mate. Dacă vrei poţi.
|
|
 |
|
 |
[1]
| Autor |
Mesaj |
|
|
Sa se determine cel mai mic numar natural de trei cifre stiind ca impartindu-l pe rand la trei numere naturale consecutive obtinem caturi tot numere naturale consecutiv, iar suma celor trei resturi este 23.
---
m1cutu
|
|
|
Enuntul nu este suficient de clar.
O sa reformulez incat sa nu existe dubii. [Citat]
Sa se determine cel mai mic numar natural
N
de trei cifre stiind ca impartindu-l pe rand cu rest la trei numere naturale consecutive
in ordine (n-1), n, (n+1)
obtinem in aceeasi ordine caturi tot trei numere naturale consecutive,
in ordine (q-1), q, (q+1),
cu resturile r,r',r''
SI suma celor trei resturi este r+r'+r'' = 23. |
Din cele de mai sus putem scrie relatiile:
N = (n-1)(q-1) + r ,
N = nq + r' ,
N = (n+1)(q+1) + r'' .
De aici rezulta:
N = (n-1)(q-1) + r ,
-2N = -2nq -2r' ,
N = (n+1)(q+1) + r'' .
Adunam acum aceste trei relatii. Dam de
0 = 2 + r + r'' -2r' .
Deci de
0 = 2 + r + r' + r'' -3r' .
Deci de
0 = 2 + 23 -3r' .
Deoarece numarul 25 nu se divide cu 3 dam de o contradictie.
Inainte de a merge mai departe cu "interpretarea enuntului"...
Care este sursa lui?
Care este nivelul?
Care este miza pe aceasta problema? (Premiu, tema, concurs, incercare de intelegere...) (Daca miza este incercarea de intelegere a matematicii, raspunsul este trimiterea la orice altceva decat astfel de probleme ghicitoare.)
---
df (gauss)
|
|
|
Daca numarul N se imparte la trei numere consecutive crescatoare, caturile nu sunt numere in ordine descrescatoare?
---
m1cutu
|
|
|
Ba da, daca ele sunt diferite, ele vin in ordine inversa.
Tocmai acesta este punctul.
Dar problema este formulata asa: [Citat]
...stiind ca impartindu-l pe rand la trei numere naturale consecutive obtinem caturi tot numere naturale consecutive... |
Atunci sa incercam sa ne legam de urmatoarea problema: [Citat]
Sa se determine cel mai mic numar natural
N
de trei cifre stiind ca impartindu-l pe rand cu rest la trei numere naturale consecutive
in ordine (n-1), n, (n+1)
obtinem in ordine inversa caturi tot trei numere naturale consecutive,
in ordinea in care impartim (q+1), q, (q-1),
cu resturile r,r',r''
SI suma celor trei resturi este r+r'+r'' = 23. |
Sa facem mai departe ca mai sus. (Apoi adunam cele trei relatii ce il exprima pe N in functie de caturi si resturi.)
Ce valoare ia r' ?
---
df (gauss)
|
|
|
r' = 7
Dar nu stiu mai departe.
---
m1cutu
|
aurel211
Grup: membru
Mesaje: 381
10 Nov 2012, 08:40 |
[Citat]
Sa se determine cel mai mic numar natural de trei cifre stiind ca impartindu-l pe rand la trei numere naturale consecutive obtinem caturi tot numere naturale consecutiv, iar suma celor trei resturi este 23. |
|
|
|
In punctul acesta cred ca este bine sa scriu ce am facut la primul pas.
Am programat, desigur. Din experienta mea cu numere, problema nu este structurala, pur si simplu se potriveste ceva mai probabil decat se foloseste ceva "uman" din teoria numerelor.
Deoarece programul (sage, python) este usor de urmarit o sa inserez mai intai liniile de cod.
Am mers mai sus doar pana la 200, o sa listez doar primele cateva solutii explicit, celelalte ascuns:
N=103 , n=12
103 impartit la 11: Cat = 9, Rest = 4
103 impartit la 12: Cat = 8, Rest = 7
103 impartit la 13: Cat = 7, Rest = 12
N=106 , n=11
106 impartit la 10: Cat = 10, Rest = 6
106 impartit la 11: Cat = 9, Rest = 7
106 impartit la 12: Cat = 8, Rest = 10
N=107 , n=10
107 impartit la 9: Cat = 11, Rest = 8
107 impartit la 10: Cat = 10, Rest = 7
107 impartit la 11: Cat = 9, Rest = 8
N=111 , n=13
111 impartit la 12: Cat = 9, Rest = 3
111 impartit la 13: Cat = 8, Rest = 7
111 impartit la 14: Cat = 7, Rest = 13
N=115 , n=12
115 impartit la 11: Cat = 10, Rest = 5
115 impartit la 12: Cat = 9, Rest = 7
115 impartit la 13: Cat = 8, Rest = 11
N=117 , n=11
117 impartit la 10: Cat = 11, Rest = 7
117 impartit la 11: Cat = 10, Rest = 7
117 impartit la 12: Cat = 9, Rest = 9
N=119 , n=14
119 impartit la 13: Cat = 9, Rest = 2
119 impartit la 14: Cat = 8, Rest = 7
119 impartit la 15: Cat = 7, Rest = 14
...si mai departe
N=124 , n=13
124 impartit la 12: Cat = 10, Rest = 4
124 impartit la 13: Cat = 9, Rest = 7
124 impartit la 14: Cat = 8, Rest = 12
N=127 , n=12
127 impartit la 11: Cat = 11, Rest = 6
127 impartit la 12: Cat = 10, Rest = 7
127 impartit la 13: Cat = 9, Rest = 10
N=127 , n=15
127 impartit la 14: Cat = 9, Rest = 1
127 impartit la 15: Cat = 8, Rest = 7
127 impartit la 16: Cat = 7, Rest = 15
N=128 , n=11
128 impartit la 10: Cat = 12, Rest = 8
128 impartit la 11: Cat = 11, Rest = 7
128 impartit la 12: Cat = 10, Rest = 8
N=133 , n=14
133 impartit la 13: Cat = 10, Rest = 3
133 impartit la 14: Cat = 9, Rest = 7
133 impartit la 15: Cat = 8, Rest = 13
N=135 , n=16
135 impartit la 15: Cat = 9, Rest = 0
135 impartit la 16: Cat = 8, Rest = 7
135 impartit la 17: Cat = 7, Rest = 16
N=137 , n=13
137 impartit la 12: Cat = 11, Rest = 5
137 impartit la 13: Cat = 10, Rest = 7
137 impartit la 14: Cat = 9, Rest = 11
N=139 , n=11
139 impartit la 10: Cat = 13, Rest = 9
139 impartit la 11: Cat = 12, Rest = 7
139 impartit la 12: Cat = 11, Rest = 7
N=139 , n=12
139 impartit la 11: Cat = 12, Rest = 7
139 impartit la 12: Cat = 11, Rest = 7
139 impartit la 13: Cat = 10, Rest = 9
N=142 , n=15
142 impartit la 14: Cat = 10, Rest = 2
142 impartit la 15: Cat = 9, Rest = 7
142 impartit la 16: Cat = 8, Rest = 14
N=147 , n=14
147 impartit la 13: Cat = 11, Rest = 4
147 impartit la 14: Cat = 10, Rest = 7
147 impartit la 15: Cat = 9, Rest = 12
N=150 , n=13
150 impartit la 12: Cat = 12, Rest = 6
150 impartit la 13: Cat = 11, Rest = 7
150 impartit la 14: Cat = 10, Rest = 10
N=151 , n=12
151 impartit la 11: Cat = 13, Rest = 8
151 impartit la 12: Cat = 12, Rest = 7
151 impartit la 13: Cat = 11, Rest = 8
N=151 , n=12
151 impartit la 11: Cat = 13, Rest = 8
151 impartit la 12: Cat = 12, Rest = 7
151 impartit la 13: Cat = 11, Rest = 8
N=151 , n=16
151 impartit la 15: Cat = 10, Rest = 1
151 impartit la 16: Cat = 9, Rest = 7
151 impartit la 17: Cat = 8, Rest = 15
N=157 , n=15
157 impartit la 14: Cat = 11, Rest = 3
157 impartit la 15: Cat = 10, Rest = 7
157 impartit la 16: Cat = 9, Rest = 13
N=160 , n=17
160 impartit la 16: Cat = 10, Rest = 0
160 impartit la 17: Cat = 9, Rest = 7
160 impartit la 18: Cat = 8, Rest = 16
N=161 , n=14
161 impartit la 13: Cat = 12, Rest = 5
161 impartit la 14: Cat = 11, Rest = 7
161 impartit la 15: Cat = 10, Rest = 11
N=163 , n=12
163 impartit la 11: Cat = 14, Rest = 9
163 impartit la 12: Cat = 13, Rest = 7
163 impartit la 13: Cat = 12, Rest = 7
N=163 , n=13
163 impartit la 12: Cat = 13, Rest = 7
163 impartit la 13: Cat = 12, Rest = 7
163 impartit la 14: Cat = 11, Rest = 9
N=167 , n=16
167 impartit la 15: Cat = 11, Rest = 2
167 impartit la 16: Cat = 10, Rest = 7
167 impartit la 17: Cat = 9, Rest = 14
N=172 , n=15
172 impartit la 14: Cat = 12, Rest = 4
172 impartit la 15: Cat = 11, Rest = 7
172 impartit la 16: Cat = 10, Rest = 12
N=175 , n=12
175 impartit la 11: Cat = 15, Rest = 10
175 impartit la 12: Cat = 14, Rest = 7
175 impartit la 13: Cat = 13, Rest = 6
N=175 , n=14
175 impartit la 13: Cat = 13, Rest = 6
175 impartit la 14: Cat = 12, Rest = 7
175 impartit la 15: Cat = 11, Rest = 10
N=176 , n=13
176 impartit la 12: Cat = 14, Rest = 8
176 impartit la 13: Cat = 13, Rest = 7
176 impartit la 14: Cat = 12, Rest = 8
N=177 , n=17
177 impartit la 16: Cat = 11, Rest = 1
177 impartit la 17: Cat = 10, Rest = 7
177 impartit la 18: Cat = 9, Rest = 15
N=183 , n=16
183 impartit la 15: Cat = 12, Rest = 3
183 impartit la 16: Cat = 11, Rest = 7
183 impartit la 17: Cat = 10, Rest = 13
N=151 , n=12
151 impartit la 11: Cat = 13, Rest = 8
151 impartit la 12: Cat = 12, Rest = 7
151 impartit la 13: Cat = 11, Rest = 8
N=151 , n=16
151 impartit la 15: Cat = 10, Rest = 1
151 impartit la 16: Cat = 9, Rest = 7
151 impartit la 17: Cat = 8, Rest = 15
N=157 , n=15
157 impartit la 14: Cat = 11, Rest = 3
157 impartit la 15: Cat = 10, Rest = 7
157 impartit la 16: Cat = 9, Rest = 13
N=160 , n=17
160 impartit la 16: Cat = 10, Rest = 0
160 impartit la 17: Cat = 9, Rest = 7
160 impartit la 18: Cat = 8, Rest = 16
N=161 , n=14
161 impartit la 13: Cat = 12, Rest = 5
161 impartit la 14: Cat = 11, Rest = 7
161 impartit la 15: Cat = 10, Rest = 11
N=163 , n=12
163 impartit la 11: Cat = 14, Rest = 9
163 impartit la 12: Cat = 13, Rest = 7
163 impartit la 13: Cat = 12, Rest = 7
N=163 , n=13
163 impartit la 12: Cat = 13, Rest = 7
163 impartit la 13: Cat = 12, Rest = 7
163 impartit la 14: Cat = 11, Rest = 9
N=167 , n=16
167 impartit la 15: Cat = 11, Rest = 2
167 impartit la 16: Cat = 10, Rest = 7
167 impartit la 17: Cat = 9, Rest = 14
N=172 , n=15
172 impartit la 14: Cat = 12, Rest = 4
172 impartit la 15: Cat = 11, Rest = 7
172 impartit la 16: Cat = 10, Rest = 12
N=175 , n=12
175 impartit la 11: Cat = 15, Rest = 10
175 impartit la 12: Cat = 14, Rest = 7
175 impartit la 13: Cat = 13, Rest = 6
N=175 , n=14
175 impartit la 13: Cat = 13, Rest = 6
175 impartit la 14: Cat = 12, Rest = 7
175 impartit la 15: Cat = 11, Rest = 10
N=176 , n=13
176 impartit la 12: Cat = 14, Rest = 8
176 impartit la 13: Cat = 13, Rest = 7
176 impartit la 14: Cat = 12, Rest = 8
N=177 , n=17
177 impartit la 16: Cat = 11, Rest = 1
177 impartit la 17: Cat = 10, Rest = 7
177 impartit la 18: Cat = 9, Rest = 15
N=183 , n=16
183 impartit la 15: Cat = 12, Rest = 3
183 impartit la 16: Cat = 11, Rest = 7
183 impartit la 17: Cat = 10, Rest = 13
Lista intreaga nu este interesanta. (Nici macar "coincidenta" faptului ca pentru 151 avem doua solutii.)
Sa zicem ca nu am rezolvat inca problema.
(Cele de mai sus sunt in acest secol o demonstratie, tot asa cum a scrie cu manan toate cazurile particulare pe hartie sunt o demonstratie.)
Trecem mai departe la solutia umana.
Dat fiind un numar N (de la 100 pana la 1000000000)
cum putem restrange cat de mult domeniul lui n,
astfel incat caturile la impartirile cu rest ale lui N pe rand la
(n-1), n, (n+1)
sa fie de forma
(q+1), q, (q+1) ?
Din experienta de mai sus (respectiv din experienta pe care o putem face pe computer marind granita de sus de cautare) vedem ca n-urile se plimba pe langa radical(N) . Cam cat de pe langa? De exemplu pentru numerele
100
101
102
:
110
numai.
---
df (gauss)
| [1]
|
Legendă:
|
 Access general
|
 Conţine mesaje necitite
|
47543 membri,
58560 mesaje.
|
|
|
|
 |
|
 |
© 2007, 2008, 2009, 2010 Pro-Didactica.ρ
|
