Fie a,b,c>0 si

definita prin

.
a) Aratati ca f e crescatoare.
b) Dovediti ca

.

Exista trei constante s,t,u>0 cu stu = 1 la indemana, astfel incat functia data este data de formula

f(x) = s^x + t^x + u^x .

Derivam. Ne legam de semnul lui

s^x ln(s) + t^x ln(t) + u^x ln(u) .

Aplicam inegalitatea lui Cebasev.
http://en.wikipedia.org/wiki/Chebyshev's_sum_inequality
Putem, deoarece daca s,t,u vin in aceasta ordine pe semiaxa reala pozitiva,
atunci in aceasi ordine vin si numerele obtinute aplicand cele doua functii crescatoare "la puterea x (din domeniul lui f)" si "ln" .

Minoram deci...

Punctul ramas vrea sa vedem ca f(1) este cel putin A = f(1/3), din monotonie, apoi sa folosim ca A + 1/A este cel putin media geometrica ori 2.

Multumesc! Am incercat sa derivez, dar nu m-am gandit la Cebasev nici la xyz=1 !