1) Comparati numerele:
a) 5 + 5^2 + 5^3 +...+5^50 si 2^2975
b)5 * 5^2 *5^3*...*5^50 si 2^2975

2)Aflati cate cifre are 2^30 scris ca numar natural.
Indicatie: Se arata ca 10^9< 10^30<10^10


3)Care dintre numerele: A= a^(1+2+3+...+1980) si B= (a^990)^1981 este mai mare?

Rog a se lasa locuri libere intre termeni si semne de adunare / comparare (in mod uniform), este doar un punct care imbunatateste estetica si da o stare de buna dispunere cititorului. In plus, eu recomand in acest secol folosirea parantezelor balansate, este bine sa folosim mai bine (a) in loc de a), pentru ochi doar.
(La acest ultim punct sunt controversat si la locul de munca de catre programatori... In fine, este bine sa se perceapa nuanta.)

[Citat] (1) Comparati numerele: (a) 5 + 5^2 + 5^3 + ... + 5^50 si 2^2975 (b) 5 * 5^2 * 5^3 * ... * 5^50 si 2^2975

Toate problemele de acest tip se bazeaza pe calcul explicit, apoi pe o minorare/majorare intre puteri mai mici ale bazelor 2 si 5.
De exemplu, deoarece 2? = 32 este mai mare decat 5² = 25, suntem generosi, rezulta mai departe (ridicand la puterea 111) ca
2??? > 5²²² .

(a)
In cazul nostru, suma de la (a) are valoarea mult mai mica decat de 50 de ori numarul 5^50. (Suntem generosi, simtim imediat ca numarul din dreapta este muuuuult mai mare.)

Deoarece 5 < 8 = 2³ stim imediat ca
50 x 5^50 = 2 x 5^52 < 2 x 8^52 = 2^(1+156) < 2^2975 .

Am terminat cu a-ul.

(b) Cum se mai scrie produsul de puteri ale lui 5?
(Proprietate a functiilor putere...)
Rog a se raspunde, apoi vedem usor mai departe.

[Citat] (2) Aflati cate cifre are 2^30 scris ca numar natural in baza 10. Indicatie: Se arata ca 10^9 < 2^30 < 10^10

De fapt este mult mai usor sa calculam puterea 2^30,
sage: 2^30
1073741824
deoarece 2^10 = 1024, un numar care trebuie stiut. Este acum clar ca ridicand mai departe la a treia dam de cel putin 1000³ care este 1 000 000 000,
mai ramane sa vedem ca nu scapam de 10 000 000 000, pentru asta vedem ca numarul dat este sub 1100, apoi calculam sau stim deja 11³ = 1331 (coeficienti binomiali din formula binomiala...) de unde
1100³ = 1 331 000 000 .
Numarul nostru se incadreaza deci si mai bine asa decat in indicatie.

[Citat] (3) Fie a un numar real (poziziv). Care dintre numerele: A = a^( 1+2+3+...+1980 ) si B = (a^990)^1981 este mai mare?

Rog a se simplifica cele doua expresii. Sa incercam impreuna:
Calculam suma 1+2+3+...+1980...
Mai greu poate...
Calculam dublul ei mai bine. De ce sa fie mai usor? Deoarece dublul se scrie
1+2+3+...+1978+1979+1980
+
1980+1979+1978+...+3+2+1
si in loc sa adunam intai "pe linii", putem sa adunam mai intai "pe coloane" (daca paginam mai uman intr-un tabel termenii).
Care este deci suma?

Pentru B putem sa aplicam anumite simplificari, exista o proprietate a ridicarilor la puteri...
Care este deci verdictul final?