1) Aratati ca diferenta dintre un numar de trei cifre si rasturnatul sau nu poate fi patrat perfect.

2)Determinati a si b stiind ca 3a +4b este patrat perfect si 3a , respectiv 4b sunt numere naturale de doua cifre scrise in baza 10.

1)abc + cba = 100a +10b +c- 100c - 10b -a = 99a -99b = 99(a-c)/9 = 11( a-c)
11 nu este patrat perfect

2) 3a +4b =x^2
30 + 40 +a+b= x^2
70 +a +b = x^2
daca x^2 = 81 atunci a =5 si b =6 / 70+11=81
a= 6 b=5 / 70+11 = 81

[Citat] (1) "abc" - "cba" = 100a +10b +c -100c -10b -a = 99a - 99c = 99(a-c)/9 = 11(a-c) . 11 nu este patrat perfect

Mai exact ... 11 este un numar prim din descompunerea lui 11(a-c), iar daca am avea un patrat perfect in mana am mai avea cel putin un factor 11 in (a-c). Deoarece a,c sunt cifre, acest lucru nu este posibil. (Exceptand cazul cu a=c, daca vrem sa avem divizibilitate cu 11, dar atunci nu avem un numar de trei cifre.)

[Citat] (2) "3a" + "4b" = x^2 implica (logic) 30 + 40 + a + b = x^2 implica (logic) 70 + a + b = x^2 .

Deoarece a+b se afla intre 1+1=2 si 9+9=18,
membrul stang de mai sus se afla intre 70 + 2 = 72 si 70 + 18 = 88 .
Intre aceste numere se afla exact un numar natural patrat perfect, anume 81.

Deci x^2 = 81 .
Ramane sa ne aranjam cu doua cifre a si b astfel incat a+b = 11 .
Avem urmatoarele posibilitati de a-l imparti pe 11 in doua bucati (cifre):

2+9
3+8
4+7
5+6
6+5
7+4
8+3
9+2

Deci avem mai multe solutii...