1.Demonstrati ca , daca xx5 este patrat perfect, atunci 2x+5, x^2+5 si 5x-1 sunt patrate perfecte.

2. Demonstrati ca numarul 1*2*3*....*1999+2 nu este patrat perfect.

3. Determinati cea mai mica valoare a lui n, numar natural, pentru care numerele sunt patrate perfecte:
a) 2^n + 17*10^2
b)5^n + 3 *10^4

[Citat] 1.Demonstrati ca daca xx5 este patrat perfect, atunci 2x+5, x^2+5 si 5x-1 sunt patrate perfecte.

Inteleg bine, xx5 este un numar natural scris in baza zece care este patrat perfect? Daca da, atunci este bine sa vedem care patrat perfect poate sa fie.
In orice caz este patratul unui numar IMPAR care se termina cu 5 (ca sa avem ultima cifra 5 la patrat) de la 10 pana la 31 (ca sa nu trecem de 1000).
Nu sunt prea multe astfel de numere, doar 15 si 25.
Care este atunci xx5 ?
Cine este x?
Ce vrea problema de la noi?

[Citat] 2. Demonstrati ca numarul 1*2*3*....*1999+2 nu este patrat perfect.

Numarul dat se termina in ...00000000000000002.
In particularse termina in 02.
In particular se divide cu 2, dar nu se divide cu 4. (Sutele din fata se divid cu 4.)
Deci nu este patrat perfect.

[Citat] 3. Determinati cea mai mica valoare a lui n, numar natural, pentru care numerele sunt patrate perfecte: (a) 2^n + 17*10^2 (b) 5^n + 3 *10^4

Aici trebuie sa incercam.
Cel mai bine cu computerul...
(17:53) gp > for( n=1,20, if( issquare(2^n + 17*10^2), print(n, " -> ", 2^n + 17*10^2) ) )
6 -> 1764
(17:53) gp > for( n=1,20, if( issquare(5^n + 3 *10^4), print(n, " -> ", 5^n + 3 *10^4) ) )
4 -> 30625