*)Se considera o matrice pe care o notez cu A de tipul (m,n).Presupun acum cå am gåsit un minor ? de ordin r, nenul, si cå toti minorii obtinuti
prin bordarea acestuia sunt nuli; ceea ce înseamnå cå toate celelalte linii (coloane) ale matricei sunt combinatii liniare ale liniilor(coloanelor) minorului ?,Daca consider acum un minor arbitrar de ordin r+1 al matricei A atunci se disting doua situatii:1)Minoru de ordinul r+1 poate sa il contina pe minorul de ordin r,si in cazul acesta este evident nul .
2)Minoru de ordinul r+1 nu il contine pe minorul ? de ordin r si in cazul aceste care este argumentul sau cum se demonstreaza faptul ca minoru de ordinul r+1 este nul????
A doua problema:

**)Rangul unei matrice(sa zicem A) este egal cu numarul maxim de coloane si de lini care se pot alege dintre coloanele si linile matricei astfel incat nici una dintre ele sa nu fie combinatie liniara a celelalte.
Eu sunt cls a 11 a si tocmai de aceea mi-ar trebui demonstratie la nivelul de liceu dar pe caz general pentru ambele probleme.
Multumesc mult!

[Citat] (*) Se considera o matrice pe care o notez cu A de tipul (m,n). Presupun acum cå am gåsit un minor ? de ordin r, nenul, si cå toti minorii obtinuti prin bordarea acestuia sunt nuli; ceea ce înseamnå cå toate celelalte linii (coloane) ale matricei sunt combinatii liniare ale liniilor(coloanelor) minorului ?. Daca consider acum un minor arbitrar de ordin r+1 ... care este argumentul sau cum se demonstreaza faptul ca minoru de ordinul r+1 este nul????

Sa zicem ca A are submatricea S de dimensiuni rxr, care are minor |S| = det(S) nenul. (Multe carti numesc minor si submatricea, si determinantul ei... Incerc sa disting.)
O sa notez cu T submatricea mxr obtinuta prin luarea celor r coloane in intregime.
Sa luam o alte submatrice arbitrara M cu mai multe coloane.
Sa luam N submatricea ce extinde M cu toate coloanele.

Mai sus am vazut propozitia...

[Citat] (*) ceea ce înseamnå cå toate celelalte coloane ale matricei sunt combinatii liniare ale coloanelor...

submatricii T.
Din cele de mai sus putem scrie fiecare coloana (ceva mx1) din N, folosind T (mxr), i.e. exista o "matrice" (linie) rx1 L cu
(coloana lui N) = TL .

Facand acest lucru pentru fiecare coloana si asambland in bloc, rezulta ca avem
N = T (Matrice ce asambleaza L-urile)
(mx?) este produsul matricii (mxr) cu o matrice (rx?)

in particular,
rang( N ) este cel mult rang( T ) = r .

Nota:
Tare ma tem ca argumentul de care este nevoie este parte "dintr-o constructie mai lunga", care incearca sa etableze in ordine precisa care sunt teoremele si propozitiile legate de rangul unei matrici. In particular, buna definitie a rangului poate sa fie centrala. Eu am folosit mai sus foarte probabil lucruri pe care le stim doar a posteriori.
In acest caz, trebuie sa stiu exact cum conduce manualul definitia si constructia rangului unei matrici, ce proprietati am deja in mana, etc.

De exemplu:
Care este definitia rangului unei matrici mxn cu coeficienti reali?
Am nevoie de asa ceva la al doilea punct.

Nota.
In facultate, notiunea de rang al unei matrici A mxn se definieste pe baza aplicatiei liniare induse,
(Inmultirea din stanga cu A) : (IR^n vazut ca matrici coloana nx1) -> (IR^n vazut ca matrici coloana mx1) .

Anume se ia spatiul vectorial imagine.
Acesta are o "dimensiune", lucru central de care depinde definitia rangului.

Ei bine, o buna parte din primele cursuri de facultate se indeletnicesc cu buna definire a dimensiunii unui spatiu vectorial. Este bine sa procedam organizat, mai intai spatii vectoriale, apoi aplicatii liniare, apoi rangul drept dimensiunea imaginii (care este spatiu vectorial). Daca nu, avem de "simplificat argumente" in cadru nestructural, incat sa avem un rang (bine) definit la nivel de a XI-a. Cei ce scriu manualele s-au decis din motive operative pentru aceasta ordine. (In speranta ca putini elevi au probleme cu buna definire a rangului, dar multi elevi accepta fenomenologia cautarii rangului fara intelegerea demonstratiei bunei definiri a rangului.)
In cazul in care un elev insista sa inteleaga rangul, il rog sa il inteleaga organic, structural si benefic pentru viitor, anume prin spatii vectoriale.

Acolo se demonstreaza leme simple in cadrul lor natural, de exemplu:
"Dintr-un sistem de generatori se poate alege un sistem de generatori minimal".
"Doua astfel de sisteme de generatori au acelasi numar (cardinalitate) de generatori."
Definitie: "O baza a unui spatiu vectorial este un sistem minim de generatori".
(In particular: Din orice sistem=multime de generatori putem alege un subsistem = o submultime care sa fie baza.)

Toate lucrurile de mai sus capata sens daca in loc de "generatori" citim "coloane ale matricii date A".

In afara de "sistem de generatori", mai exista un concept "dual" important, cel de "sistem liniar independent", un astfel de sistem este format din vectori (coloane de matrici) cu proprietatea ca daca o combinatie liniara a lor este nula, atuncii coeficientii din aceasta combinatie sunt ei insisi toti nuli.
Se poate demonstra dual ca "orice sistem liniar intr-un spatiu vectorial se poate extinde la o baza".

Conceptul de baza este central, munca depusa in a demonstra ca orice spatiu vectorial are o baza se vede asa sau asa in teoria matricilor si a determinantilor de pe clasa a XI-a. In orice caz, apar simplificari "psihologice" daca presupunem ca avem un "cadru finit" la indemana. (Ce este acest lucru, "cadru finit" din nou nu poate fi precizat fara notiunea de baza,
respectiv de buna definire a cardinalitatii ei. Exista multe baze, dar ele au ceva comun, numarul de elemente.)

Sper ca nu incurc prea mult cu cele de mai sus. (Arat drumul spre Roma cu avionul, dar in moment nu avem decat o masina si ceva benzina. In orice caz, in matematica e bine sa ne gandim ca vine si ziua in care ne construim avionul si ne plimbam numai cu el. E si bine, e si rau in aceasta, de exemplu unele probleme de olimpiada vor sa mergem de la Azuga la Sinaia, mai greu cu avionul. Dar cu avionul ne luam mai usor un post de asistent, asigurandu-ne astfel un mod de intretinerea a unei familii prin ceea ce am inteles si facem cu placere.)

Daca vin definitiile, punctul de plecare si cel de ajungere, putem incerca cu mare drag sa demonstram aici detaliile ramase.

Daca toti coeficientii reali a i matricei mxn sunt nuli ,avem de a face cu matricea nula ,care are prin definitie rangul nul.In schimb, daca este vorba despre o matrice nenula,atunci exista cel putin un coeficient real nenul si deci mai departe va exista cel putin un minor/submatrice a matricei date de un anumit ordin natural(>=1si<=decat numarul minim de lini si coloane) a. i. minorul sa fie nenul.Acum tinand cont de faptul ca multimea minorilor matricei este finita rezulta ca exista un numar natural nenul(pe care il notez cu r) a .i sa existe un minor de ordin natural nenul iar toti minorii de ordin mai mare decat r(daca exista)trebuie sa fie nuli.(Acest lucru cred ca este implicatie a faptului ca orice multime de numere reale (in particular naturale=ordinile minorilor)finita are un element maximal(maxim=rangul);fapt care poate fi dovedit(prin inductie matematica) la analiza reala pentru o multime oarecare formata dintr-un numar finit de numere reale ,in cazul acesta numerele reale sunt(in particular) ordinile minorilor.
Bun,acum in manualul de clasa a 11 a pe care mi l-a recomadat profesorul meu ,definitia generala(standard) a rangului unei matrice nenule suna cam asa:Spunem ca numarul r (cu anumite restrictii la multimea numerelor naturare) este rangul matricei daca exista un minor nenul de ordin r a .i toti minorii de ordin mai mare decat r (daca exista) sa fie nuli.De fapt, aceasta definitie ,dupa parerea mea , pleca (in mod elementar )exact de la ce am spus eu mai sus si ar putea fi formulata echivalent sub forma.Rangul matricei este,prin definitie, ordinul maxim al minorilor nenuli a i matricei nenule date.Dupa care se construieste o teorema care simplifica putin lucrurile,in sensul ca acesta ne ofera o conditie necesara si sucicienta ca un numr r sa fie rangul matricei date(conditie care imi spune ca r este rangul matricei date daca si numai daca exista un minor nenul de ordin r ,iar toti minori de ordin mai mare cu o unitate decat r sa fie nuli.Aici observ ca pentru gasirea rangului matricei nu mai trebuie sa evaluez toti minori de ordin ma mare decat r,ci numai aceea de ordin r+1 si sa -i compar cu zero.
Totusi ,gasirea rangului matricei(dupa cum prezinta manualul) s-a dovedit destul de anevoios datorita numarului mare de minori de ordin r+1 pentru matrice cu numarul minim de linii si coloane destul de mare.S-a mers mai departe si s-a introdus in manual o alta teorema care imi spune ca:
Daca la un determinant nenul de ordin n se adauga o linie si coloana a.i determinantul de ordin n+1obtinut sa fie nul,atunci linia(coloana ) adaugata este combinatie liniara de celelalte linii respectiv coloane.
Acum problema a doua este prezentata ca o consecinta a acestei teoreme(deci cred ca se foloseste aceasta teorema(pe care o stiu demostra) pentru demonstrarea consecintei dar mie nu-mi vine nicio idee.Orice indicatie ar fi binevenita.
Multumesc mult!

Excelent, multumesc pentru raspuns.

Se pare ca manualul are urmatorul drum:
- rangul unei matrici este definit bazandu-ne pe notiunea de determinant al unei matrici patrate
- avem de demonstrat un rezultat "R" despre rang. (A doua problema de mai sus.)
- se recomanda folosirea unei teoreme "T".
- la o privire mai atenta, teorema "T" este un caz particular, special al rezultatului "R". "Probabil ca" intelegand "T" avem ustensilele necesare pentru a intelege "R".
- de acea ne uitam la "T". Enuntul lui "T" depinde esential de notiunea de determinant si foarte probabil de modul in care putem face calculul unei matrici (n+1)x(n+1) folosind inductiv / recursiv calculul de determinanti de (anumite) submatrici nxn . Din nou este un detaliu de constructie, care depinde de manual. (Drumul natural NU este cel de a introduce mai intai determinantii, apoi rangul, ci invers!)

Cum este deci (bine) definit determinantul unei matrici nxn in manual?
Trebuie sa ni se dea o constructie! Matricile elementare si/sau regula lui Lebniz ar trebui sa joace un rol aici. Mai exista sansa ca definitia determinantului sa fie o suma alternata indexata dupa permutari -tare ma tem -
http://en.wikipedia.org/wiki/Determinant#n-by-n_matrices
caz in care trebuie sa stiu ce propozitii pot folosi. (Structura nu este simplu de demarat, fara nimic in mana avem repede o bucata buna de manual in aceasta sectiune.)

Voi incerca apoi sa dau o demonstratie ad-hoc, plecand de la definitie sau de la o propozitie echivalenta cu ea.

In manual se pleaca de la definitia determinantilor de ordin particular 2 si 3(aici pentru determinarea formulelor determinantiilor se utiliziaza sistemele de ecuatii liniare ceea ce este foarte clar).Acum,pentru aceste formule,se analizeaza termenii si se observa faptul ca fiecare termen contine cate un element apartinand la linii si coloane distincte,iar semnul(+si-) pentru fiecare termen coincide cu semnul (signatura) permutarii asociate termenului respectiv(adica pentru permutare para se ia termenul cu semnul plus si pentru cea impara se ea termenul cu semnul minus).Acum pentru a obtine definitia generala a determintului de orice ordin natural n>=4 se considera o matrice patratica de ordinul n si se tine cont de particularitatile celor doua cazuri particulare(altfel spus se formeaza toate produsele de elemente apartinand la linii si coloane distincte a matricei pe care am considerat o,se considera permutarile de gradul n asociate acestora,se determina paritatea permutarilor ect[acestea sunt lucruri ce imi sunt familiare])Deci in acest mod se obtine definitia generala a determinantului(de orice ordin )plecand de la cele doua cazuri particulare si obtinandu se astfel o regula generala pentru buna definire a determinantului de orice ordin .
Bun, acum in manual(intr -un caz particular) mai apare o teorema/definitie pe care am gasit o pe internet sub numele de regula lui Laplace (este vorba despre dezvoltarea determinantului dupa o linie sau coloana ,astfel permitand determinarea formulei determinantului folosind un anumit numar de determinanti de ordin mai mic cu o unitate decat ordinul determinantului initial[aceasta regula poate fi folosita si in cazul general in care dezvoltam dupa mai multe linii sau coloane determinantuldat].Regula lui Laplace(din ceea ce am gasit in manual si pe internet am inteles o ) chiar si demonstratia ei.Acum daca stau bine sa ma gandesc atat definitia cu permutari si respectiv teorema/regula lui laplace sunt echivalente(este exact ca la analiza reala pentru definirea limitei de functii in sensul ca exista 3 definitii echivalente cea cu epsilon si delta ,cu vecinatati si cu sirurui;fiecare manual pleaca cu o anumita definitie si pe baza acelei definiti se construiesc celelalte 2 "'definitii'' ca criterii/teoreme))Acelasi lucru cred ca se intampla si pentru definirea unui determinant ,adica putem lua ca definitie a determinantului atat definitia cu permutari cat si regula lui laplace(care sunt definitii echivalente) iar fiecare autor pleaca cu o anumita definitie dupa care pe baza acelei definitii se construieste(eventul luand si alte '"íngrediente matematice "complementare) cealalta ''definitie'' ca criteriu/teorema/regula.

Cred ca cel mai simplu ne descurcam de aici incolo daca scriem forma explicita a inversei unei matrici rxr S despre care stim ca are determinant nenul.

Idea este simpla si trebuie inteleasa cu demonstratie cu tot o data pentru totdeauna, de exemplu aici:

http://en.wikipedia.org/wiki/Invertible_matrix#Analytic_solution
Daca avem asa ceva, atunci sa plecam cu ceva de forma

[SA]
[BC] scriere bloc

unde S este acea submatrice / acel minor rxr
(pe care putem desigur fara a restrange generalitatea sa-l plasam pe primele r linii si coloane)
cu determinant nenul cu proprietatea ca oricum il mai extindem / bordam la o submatrice (r+1)x(r+1) dam de un minor (cu determinant) nul.

(Terminologia intotdeauna m-a suparat, in unele carti se vorbeste in acelasi timp de determinantul submatricii cat si de submatrice cand este apelat un "minor", de exemplu in propozitii de forma "a extinde un minor" sau "subminor"... Insa aici stim ce vrem sa spunem.)

La ce ne ajuta sa avem inversa lui S, pe care o notam cu T?
Ne ajuta destul de mult, deoarece putem inmulti "din partea cealalta" cu inversa si avem aceasi combinatie liniara de coloane.

Ce inseamna "din partea cealalta"? Sa observam ca daca o matrice mxn (m linii si n coloane) admite o combinatie liniara triviala a coloanelor, a celor n coloane, atunci dam de scalari a1, a2, ... , an cu proprietatea ca
a1 (prima coloana) + a2 (a doua coloana) + ... = (coloana nula)
fiecare coloana fiind o matrice mx1.
Cel mai bine este daca scriem coloanele ca matrici bloc c1, c2, ...
Atunci matricea mxn data este
[ c1 c2 ... cn ]
Pe care daca o inmultim din dreapta cu matricea bloc
[a1]
[a1]
[: ]
[an]
dam de [0], vazut ca bloc coloana.
Sa notam cu a matricea bloc de mai sus care da combinatia liniara.
Am vazut deci ca
[ c1 c2 ... cn ] a = 0 .
Desigur ca daca inmultim acum din stanga cu o matrice arbitrara D de dimensiuni mxm, dam de
D[ c1 c2 ... cn ] a = 0 , i.e. (inmultind in bloc)
[ D.c1 D.c2 ... D.cn ] a = 0

Deci daca D este inversabila, coloanele
c1, c2, ... , cn admit o combinatie liniara triviala (cu rezultat trivial, i.e. nul)
daca si numai daca
D.c1, D.c2, ... , D.cn admit o combinatie liniara triviala.

In cazul in care avem pe o parte o astfel de combinatie liniara triviala,
avem si pe cealalta una, anumit acea cu aceiasi "coeficienti" a1, a2, ...

Deci daca vrem sa gasim combinatii liniare de coloane, avem inca libertatea de a inmulti din stanga cu matrici inversabile.
Si acum la problema.
Plecand cu

[ S A ]
[ B C ] , unde S este inversabila cu inversa T, tot o matrice rxr, i.e. ST = I,

in scriere bloc, (r+m') linii X (r+n') coloane, i.e.
S are dimensiunile r x r
A are dimensiunile r x n'
B are dimensiunile m' x r
S are dimensiunile m' x n'
putem inmulti de exemplu din stanga cu matricea bloc patrata cu
(r+m') linii X (r+m') coloane
[ T 0 ]
[ 0 I ]
pentru a da de o matrice mai usor de inteles, anume ceva de forma

[ I * ]
[ * * ]

.................

(Trebuie sa inchei, in cateva ore merg la lucru...)