Avem matricea patratica: A=(6 5)(-3 -2), sa se calculeze A^n cu metoda Cayley Hamilton.

[Citat]

Nu stiu care este aceasta metoda, dar banuiesc ca este vorba despre diagonalizarea matricii date. Intamplator aceasi problema a aparut aceste zile si din motive operative in rezolvarea unei probleme de combinatorica.
http://www.pro-didactica.ro/forum/index.php?forumID=8&ID=37970

Voi rezolva problema de mai sus folosind puterea de tiparit a computerului (sagemath), explicand insa la inceput ce pasi trebuie facuti.

Se calculeaza valorile proprii ale matricii date. Pentru aceasta se calculeaza polinomul caracteristic al lui A. Acesta este

P(x;A) = det( xI -A ) .

(Folosesc x in loc de lambda, tiparind in graba, fara latex. I este matricea unitate 2x2 desigur.)
Pentru matrici 2x2 stim ca obtinem polinomul

P(x;A) = xx - Urma(A) x + det(A) ,

unde Urma lui A este suma elementelor de pe diagonala. La noi, urma este 6-2=4, determinantul este -12+15 = 3. Ecuatia xx -4x +3 are radacinile 1 si 3, acestea sunt valorile proprii ale matricii date.

Calculam pentru 1 vectorii proprii (un vector propriu care arata uman, mai exact). Scadem de acea acest 1 pe diagonala, dam de matricea degenerata A-I
(ea are preprogramat determinantul nul)
+5 +5
-3 -3
si cautam un vector (cu semne de intrebare posibil diferite ca valoare mai jos) care face produsul
[+5 +5] [?]
[-3 -3] [?]
sa se anuleze. Desigur ca
[+1]
[-1]
este o posibilitate. Alegem acest vector propriu, il notez cu v in cele ce rmeaza.

facem acelasi lucru si cu 3-ul. Pe hartie / ciorna scriu de obicei doar esenta celor de mai sus...
[+3 +5] [+5]
[-3 -5] [-3]
care dupa inmultire este vectorul nul.
Notez cu w vectorul coloana cu intrarile 5, -3 de mai sus.

Asociem matricea formata din vectorii proprii v,w drept coloane.
Ea se scrie chiar ca matrice bloc (formata din blocuri) sub forma S = [ v w ]
[ +1 +5 ]
[ -1 -3 ]

Tocmai am vazut ca (A-I)v = 0 si (A-3I)w = 0, i.e.
Av = v si Aw = 3w,
ceea ce arata ca
AS = A[v w]=[ Av Aw ] = [ v 3w ] = [ v w ]D = SD
unde D este matricea diagonala cu intrarile 1,3 pe diagonala. Inmultind din DREAPTA cu ea..
(Desigur ca D vine in dreapta, ar fi culmea sa obtinem invers AS = DS...)

Acestea fiind spuse se vede ca nu trebuie sa invatam nimic pe de rost, lucrurile curg pur si simplu cu sens. (Nu avem de a face cu un algoritm sofisticat cu pasi de neinteles.)

In astfel de cazuri, ma verific de obicei cu calculatorul. Folosesc sagemath pe o masina linux, ceea ce recomand tuturor celor ce gandesc pe timp lung. sagemath este un soft liber care cumuleaza tot ce este calculabil si liber scris referitor la matematica.


sage: A = matrix( 2,2, [ 6,5, -3,-2 ] )
sage: A.jordan_form?
sage: J, S = A.jordan_form(transformation=True)

sage: J
[3|0]
[-+-]
[0|1]

sage: S
[ 1 1]
[-3/5 -1]

sage: S.inverse()
[ 5/2 5/2]
[-3/2 -5/2]

sage: S.inverse() * A * S
[3 0]
[0 1]

sage: S * J * S.inverse()
[ 6 5]
[-3 -2]


Dupa cum se vede, sage a luat alta ordine pentru valorile proprii si alta alegere (mai putin umana) a vectorilor proprii corespunzatori.

In orice caz am facut rost de scrierea

N.B. Pagina mi se incarca din ce in ce mai incet. Cu o luna inainte trimiteam de cate 3 ori dupa corecturi minime, acum astept cate 5 minute ca sa pot edita cele trimise (pentru a vedea cum arata si a-mi gasi locurile de retus necesar).

[Citat] Nu stiu care este aceasta metoda