Fie

a.i.

.
a) Sa se arate ca ecuatia

, cu necunoscuta x (real), are o singura solutie.
b) Sa se rezolve inecuatia

cu necunoscuta x (real).

Introducem numerele complexe u,v definite prin
u = z-a ,
v = z-b .

Atunci paralelogramul pe care il desenam in planul complex cu varfurile
0, u, v, u+v
are diagonalele de aceasi lungime |u-v| = |u+v|,
deci este un dreptunghi. Varfurile
0, u, v
determina un triunghi dreptunghic cu unghiul drept in origine.
Teorema lui Pitagora asigura ca ecuatia data in (a) are solutia x=2,

|u|² + |v|² = |u-v|² .

Impartind cu lungimea ipotenuzei la puterea x, functia din partea stanga inegalitatii este monotona.

Multumesc!
La punctul b) trebuie sa studiez monotonia functiei (obtinuta din mambrul stang prin impartirea cu lungimea impotenuzei)...care depuninde de termenii acestei functii si de x?

Am incercat ceva la monotonie, dar m-am blocat undeva:
Se obtine (prin impartirea de care ati zis dvs) ca:

Notand u/(u+v)=p, relatia devine:

Si luam pe cazuri:
1)

, functia e s.d. pentru x>=0 si s.c. pentru x<0.
2)

avem invers la ceea ce am scris mai sus.
3)

aici problma este ca un termen e s.c. si altul e s.d. si nu am stiut ce sa fac la monotonie .
Ma puteti ajuta, va rog, aici?

[Citat] Am incercat ceva la monotonie, dar m-am blocat undeva: Se obtine (prin impartirea de care ati zis dvs) ca: Notand u/(u+v)=p, relatia devine: Si luam pe cazuri: 1) , functia e s.d. pentru x>=0 si s.c. pentru x<0. 2) avem invers la ceea ce am scris mai sus. 3) aici problma este ca un termen e s.c. si altul e s.d. si nu am stiut ce sa fac la monotonie . Ma puteti ajuta, va rog, aici?

Acel p este numar complex si notatia nu prea ajuta.

Aveti mai sus indicatiile lui Gauss cu modul de a privi problema geometric. Iata si o abordare algebrica.

Conditia

revine la

si atunci

. De aici avem imediat

si

.

Multumesc!
Mai sus ma corectat! Acum mi-am dat seama ca in loc sa scriu |p| am scris p :D.

In orice caz, nu ar trebui sa existe si un x<0 solutie?

Mda...nu ar trebui:D! (m-am grabit sa raspund inainte sa imi dau seama ca pentru x<0 evident ca suma e mai mare ca 1...)

[Citat] Multumesc! Mai sus ma corectat! Acum mi-am dat seama ca in loc sa scriu |p| am scris p :D.

Chiar si asa discutia nu are sens. Pentru p numar complex, faptul ca stim |p| nu ne da prea multa informatie despre |1-p|.