Fie o functie

si

. Sa se demonstreze ca daca

atunci

este

(

se numeste

daca

unde

sunt vectorii bazei canonice)

Functia f este definita pe planul real IR².
Ar fi bine sa stim din enunt ca este derivabila cu derivata continua.
Din enunt mai lipseste ceva, deoarece putem aranja ca functia sa fie 0 pe patratul unitate [0,1]² dar undeva "departe" sa nu fie 0. (Dar inca derivabila)
Conditia cu integrala din enunt se leaga doar de comportamentul lui f pe Y.
Periodicitatea este greu de constrans fara ceva in plus.

Notatia integralei pe Y este de asemenea ciudata, inca nu am vazut o integrala fata de un x sagetat (pe ceva doi dimensional). Cine foloseste asa ceva? In ce sens se cupleaza gradientul lui f cu acel dx?

Care este sursa problemei si care este enuntul complet?
Altfel nu putem ajuta din pacate...

Banuiesc ca integrala este calculata pe componente, iar domeniul de integrare este o translatie arbitrara a patratului unitate. In aceste conditii rezultatl este corect, aplicand pe fiecare componenta Leibnitz-Newton de cate doua ori. In orice caz enuntul trebuie clarificat.

Enuntul nu e dintr-o problema anume, de fapt incerc sa demonstrez acest lucru pt a-mi fi de folos in alta problema. Oricum ar fi cam mult sa va pun in tema cu problema.

Referitor la notatia cu vector am incercat sa fiu cat mai scurt si sa evit

. De fapt ceea ce mi-ar trebui sa demonstrez ar fi

.

Este clar ca functia

are proprietatile necesare pt ca integrala sa aiba sens, asta am uitat sa mentionez.

M-am gandit sa folosesc formula Gauss-Ostrogradski si obtin

si integrala devine o suma de integrale pe fiecare latura a patratului. Evident, de exemplu in cazul i=1, pe laturile orizontale, componenta orizontala a normalei este zero deci doua dintre integrale dispar. Mai raman doua integrale. Mai exact daca notam cu

laturile(fetele) din stanga si dreapta ale patratului obtinem ca

. Minusul apare deoarece normalele pe cele doua laturi sunt de sensuri opuse.

Mai departe, mi-ar placea sa arat ca

pt ca astfel ar fi verificata definitia periodicitatii, numai ca nu stiu cum sa fac legatura (daca e bine cum am gandit pana acum) intre ultima relatie si penultima.

Multumesc mult pentru atentia acordata problemei, si imi cer scuze dca am fost ambiguu.