Sa se arate ca nu exista a,b,c reale a.i.

[Citat] Sa se arate ca nu exista a,b,c reale a.i. pentru orice x real are loc [x+a] + [2x+b] = [3x+c] .

Inlocuim x cu x-a. Dam de "acelasi" enunt cu alte valori pentru b si c.
Ne putem restrange deci la cazul a=0. Avem de gasit o contradictie plecand cu propozitia:

(P)
"Pentru orice x real are loc
P(x): [x] + [2x+b] = [3x+c] ."

(Psihologic, Deoarece P(x) => P(x+1), ajunge sa cautam contradictia cu x in [0,1).)

Il facem mai sus pe x=0.
P(0) implica [ b ] = [ c ] .
Inlocuim atunci b cu b - [ b ] si c cu c - [ c ].
Ne putem deci restrange la cazul in care b,c sunt in [0,1).

Scriem acum explicit P(0), P(1/3), P(1/2), P(2/3) si dam de

P(0) : [ b ] = [ c ] = 0 , asa cum am asigurat mai sus, b,c in [0,1),
P(1/3) : [2/3+b] = [1+c] = 1+[c] = 1, deci b in [1/3,1) mai exact decat in P(0),
P(2/3) : [4/3+b] = [2+c] = 2+[c] = 2, deci b in [2/3,1) mai exact decat in P(0),
P(1/2) : [3/2+c] = [1+b] = 1+[ b] = 1, deci c in [0,1/2) mai exact decat in P(0).

Cand x variaza in IR si trece peste -b/2,
(scriem cu alte cuvinte relatia pentru -b/2 si pentru -b/2-epsilon...)
functia din stanga are un salt (de inatime unu). Deci si cea din dreapta.
Deci -3b/2 + c este in ZZ .
Deoarece -3b/2 este in (-3/2,-1] si c in [0,1/2), suma este in (-3/2, -1/2).
Deci dam de -3b/2 + c = -1 .
Deci -3b + 2c = -2 .

Cand x variaza in IR si trece peste -c/3,
(scriem cu alte cuvinte relatia pentru -c/3 si pentru -c/3-epsilon...)
functia din dreapta are un salt (de inatime unu). Deci si cea din stanga.
Deci -2c/3 + b este in ZZ .
Deoarece -2c/3 este in (-1/3,0] si b in [2/3,1), suma este in (-1/3, 1).
Deci dam de -2c/3 + b = 0 .
Deci -2c + 3b = 0 .

Contradictie.

Probabil ca nu am mers astfel pe drumul cel mai scurt, dar nu am vrut din cele de mai sus sa mai tai.

Ce inseamna IR? (asa ca indee, chiar daca problema am inteles-o)
Multumesc pt rezolvare!

[Citat] Ce inseamna IR? (asa ca indee, chiar daca problema am inteles-o) Multumesc pt rezolvare!

IR este un mod de scrie in ASCII multimea numerelor reale notata de obicei

.

Nu inteleg, de ce putem sa inlocuim pe b cu b - [ b ] si sa ne restrangem pt b si c in intervalul [0,1), daca propozitia ar fi ca exista a, b, c care satisfac conditia?

[Citat] Nu inteleg, de ce putem sa inlocuim pe b cu b-[ b ] si sa ne restrangem pt b si c in intervalul [0,1), daca propozitia ar fi ca exista a, b, c care satisfac conditia?

Pentru ca [u+n]=[ u ]+n pentru orice u real si n intreg putem sa scoatem [ b ] si [c] din [2x+b] si [3x+c] si apoi sa le reducem caci sunt egale.

O solu?ie alternativ?
http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=36&t=522962

La solutia domnului Enescu de ce in final f(0)=0?

[Citat] La solutia domnului Enescu de ce in final f(0)=0?

Am gre?it. Am corectat. Mul?umesc pentru întrebare.

Din ce inteleg eu,functia {3x+c}+b-c are perioada 1/3 ceea ce e evident, dar de ce pt functia f(x)={x}+{2x+b} de ce f(0)=f(2/3)?

[Citat] Din ce inteleg eu,functia {3x+c}+b-c are perioada 1/3 ceea ce e evident, dar de ce pt functia f(x)={x}+{2x+b} de ce f(0)=f(2/3)?

Trebuie ca si f sa aiba perioada 1/3, de vreme ce functiile sunt egale. Atunci f(0)=f(1/3)=f(2/3).