as avea o intrebare,la facultatea de matematica geometria riemanniana in.. ce an se studiaza?

In facultatile din lume, studiul geometriei pe varietati Riemann este parte a geometriei diferentiale de undeva dupa anul III. In orice caz, mai intai trebuie introduse varietatile diferentiabile, lucru care se face in anul III, daca se face. Apoi fiecare facultate, profesor, isi ia un drum propriu.

Pe astfel de varietati este bine sa stim ce sunt fibratii vectoriali.
Repede povestit, un fibrat vectorial este un mod de a infige "in mod continuu" spatii vectoriale drept fibre in punctele din varietate.
Ca sa avem la ce sa ne gandim plastic, sa zicem ca o bucata din varietate este un deal si ca spatiile vectoriale pe care le infigem sunt cateva spice (desenam doar o bucata din ele, cu 0-ul la nivelul pamantului).

In acest moment, avem doua lumi:
- lumea topologica, de fapt diferential topologica a modului cum lipim un deal de altul pentru a face rost de pamant sau de un pamant cu gaura... sau cu mai multe gauri, in aceasta lume putem face jocuri topologice, nu sunt foarte interesante (desi sunt, dar atunci ele sunt greu de descris)
- lumea liniara din fiecare fibra, in care ne putem etala toate cunostintele despre matrici, determinanti, sume de spatii vectoriale, alte constructii cu spatii vectoriale, in principiu tot ce se poate face cu spatiile vectoriale (astfel incat sa avem o "constructie universala").

Ei bine, pentru a face ceva mai usor cu aceste spatii vectoriale, e bine sa le inzestram cu produse scalare, ne simtim acasa.

Geometria riemanniana incepe prin a da o astfel de metrica, norma (ce vine din produs hilbert, produs scalar) pe fibratul tangent al varietatii diferentiale.

Geometria riemann inseamna atunci studiul unor constructii "standard" in acest context. In zilele noastre, fizicienii sunt foarte interesati de astfel de lucruri. Dar ei au interese foarte speciale, vor de exemplu si o structura de algebra Clifford, cine stie ce alte lucruri in "fibra" acea vectoriala. De acea cursurile de geometrie riemanniana foarte repede se duc in directia speciala care va fi cercetarea.

Daca este vorba despre "instante simple" ale geometriei Riemann, de exemplu studiul curbelor si al suprafetelor care vin scufundate deja in planul sau spatiul euclidian (real), acest mod de a face "geometrie" nu este chiar geometrie, este ca si cum trecem prin viata cand avem un sponsor continuu. (Structura este mereu "imprumutata", tot asa cum se intampla si cu imprumuturile provizorii.)
Trebuie facuta distinctie
intre
intelegerea tangentei la o curba din spatiu, asa cum vine ea scufundata in spatiu (plan osculator, torsiune, ...) si a unei formule care din nou depinde de astfel de date
si
intelegerea invariantilor care raman invarianti indiferent de "scufundare", caz in care incepem geometria.

Astfel, primii pasi din geometria Riemann se fac mai degraba dupa anul IV, V cred in orice faculate din lume. (Eu nu am avut niciodata nevoie de lumea Riemanniana, in fine, conexiunea Levi-Civita a trebuit sa o invat la facultate intr-un curs care ascundea geometria in spatele unui calcul de masina Turing cu litera Nabla cu decoratii, nu am vazut nici un fibrat, dar tarziu de tot am avut nevoie de lumea cu fibrati complecsi, Hermitiana, conexiunea care balanseaza norma hermitiana a venit in primele 10 pagini ale cartii, este un operator diferential pe spatii de functii cu valori in acei fibrati, el are un adjunct in sensul algebrelor de operatori, adjunctul este operator nemarginit, destul de repede se scriu si operatori Laplace asociati, cursul a trecut repede si de acest punct, a intrat in modul de a intelege geometria varietatii de plecare prin intermediul acestor operatori. "Geometrie spectrala". Scriu aceste lucruri doar pentru a vedea ca o teorie nu este "un scop in sine", a intelege o teorie este un lucru scump, costisitor, daca nu exista un proiect de cercetare imediat, efortul nu este rentabil. In zilele noaste este esential sa vedem "drumul" ca un tot, in orice caz, parte estetica din el, peisajul, este indiferent de alegere suberb.