Este data multimea M pe care sint difinite operatiile de adunare si inmultire obisnuita a matricelor.
1) Sa se arate (M,+,inmultire )este inel.
2) M este inel asociativ , comutativ, cu unitate?
3)In inelul unitar indicati grupul U(M).
4)Calculati multimile Id(M), D(M) si N(M).





M =
(x y )
(y x )
aceastai matricea dar nu se primeste sa o fac bine.
x si y apartin lui Z.

Nu stiu daca am inteles bine ce se da si ce se cere, o sa scriu inca o data, punand la inceput tot ce (cred ca) se da, apoi tot ce se cere.

Notatiile Id(M), D(M), N(M) si U(M) nu sunt universale.
(Ele depind de la curs la curs, de la carte la carte.)

Probabil ca N(M) este multimea elementelor nilpotente din M,
D(M) sunt probabil divizorii lui zero.
Despre Id(M) nu am nici un fel de idee.

Rog a se scrie in cuvinte ce reprezinta ele.

[Citat]

(1) Deoarece inelul de matrici M(2,2;ZZ) este inel, trebuie sa mai verificam stabilitatea operatiilor. Suma de doua matrice din M este de asemenea o matrice din M. Inmultirea a doua matrici din M este de asemenea o matrice din M. Structura se mosteneste!

(2) Asociativitatea am clarificat-o deja. Unitatea din M(2,2;ZZ) este de asemenea in M. Ramane sa mai verificam comutativitatea! Este M comutativ?

(3), (4) : Ce este U(M)? Daca sunt "unitatile" (multimea lor...), atunci este util sa rescriem M intr-o forma in care unitatile sunt usor de vazut.
Sa observam mai intai ca matricea "generica" din M se rescrie in modul urmator:

De aceea obtinem un izomorfism de la M la inelul A ("anneau", mi s-au dus literele mai utile) definit a fi:

A = { (a,b) | a,b numere intregi de aceeasi paritate }

in care adunarea si inmultirea se fac pe componente.
Matricea
[ x y ]
[ y x ]
din M se trimite desigur in ( x+y, x-y ),
intrarile diagonale (din forma canonica Jordan a matricii din descompunerea de mai sus). Este bine sa stim ca automorfismul de conjugare pastreaza structura de inel. (Pe buna deptate putem sa-l numim automorfism.)

Care sunt unitatile lui A?
(Respectiv D(A), ... daca stim cum se definesc aceste lucruri.)