Salut

Cum pot demonstra ca f(J) , unde J este un bloc Jordan, are expresia analitica de aici:
http://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_function#Jordan_decomposition ?

Eu am pornit prin a rezolva sistemul

unde m este ordinul de multiplicitate al lui lambda.

Pentru

am dedus coeficientii polinomului r(z), dar ceea ce obtin difera de rezultatul de pe wikipedia (de exemplu pentru f11 nu mi se reduce f''(lambda) ).

Prin liniaritate, ajunge sa ne legam de f(x) = x^k.

Un bloc Jordan nxn este de forma
(xI + U)
unde folosesc aici x in loc de lambda
si unde I este matricea unitate de dimensiunea (patrata) n a blocului
si unde U este matricea nilpotenta cu intrarile "peste" diagonala principala.
(Ar fi trebuit sa iau un N, dar ma tem ca se intelege ceva gresit...)

I = E(1,1) + E(2,2) + ... + E(n-1,n-1) + E(n,n)
U = E(1,2) + E(2,3) + ... + E(n-1,n)

E(i,j) este matricea elementara cu un unu pe pozitia (i,j).
Cele doua randuri de sus de fapt nu conteaza, trebuie numai sa stim cam cum arata UU, UUU, ...

In orice caz conteaza mai intai faptul ca I si U comuta. (I comuta cu orice matrice.) Atunci putem aplica formula binomiala pentru

(xI + U)^k

Matricea U poate fi gandita ca matricea de adiacenta a structurii/lantului

(1)-->--(2)-->--(3)-->-- ... -->--(n-1)-->--(n)

in care nu e nici un drum de la i la i.
Atunci U^k are pe pozitia (i,j) numarul de drumuri orientate de lungime k de la i la j. Este clar cand avem asa ceva.
´
Alternativ calculam
( E(1,2) + E(2,3) + ... + E(n-1,n) )^k
desfacem parantezele, inmultim termenii fiecare cu fiecare cu fiecare cu ... si vedem ca putem da de un unu (si numai de unu) daca inmultim
E(i,i+1) E(i+1,i+2) ... E(i+k,i+k+1).

Cred ca de aici nu mai sunt probleme. Daca mai ramane insa ceva deschis, cu incredere!