e1 e2 e3
sunt coloanele matricii identitate
1 0 0
0 1 0
0 0 1

Am incercat sa rezolv problema, insa nu mi-a iesit nu stiu la ce gresesc!
Pentru calcularea lui D, am obtinut

, care nu are decat o solutie (foarte urata) reala.
Apoi, cand am incercat sa determin S, adica sa rezolv sistemul:

am obtinut S=0 (matricea nula). Am notat:

si pentru i=1, am obtinut:

ceea ce inseamna ca a=d=g=0 si analog pt i=2 se arata ca b=e=h=0, iar pt i=3 am obtinut un alt sistem(ceva mai diferit pt ca

, iar

) ,dar din care obtin ca si celelalte 3 numere din S sunt egale cu 0 . Ce gresesc?

det( A-xI ) ar trebui sa fie
- ( xxx -6xx +11x -6 ) ,

nu m-am mai uitat la problema, dar cred ca semnele corespund.

Nu stiu ce sa zic , dar mie tot asa (cum am zis mai sus) imi da .

Cu calculatorul:

(17:32) gp > f = (x-1)*(x-2)*(x-3)
%9 = x^3 - 6*x^2 + 11*x - 6
(17:32) gp > matcompanion(f)
%10 =
[0 0 6]

[1 0 -11]

[0 1 6]

(17:32) gp > charpoly( matcompanion(f) )
%11 = x^3 - 6*x^2 + 11*x - 6
(17:33) gp > A = [ 0,1,0; 0,0,1; a,b,c ]
%13 =
[0 1 0]

[0 0 1]

[a b c]

(17:51) gp > charpoly(A)
%14 = x^3 - c*x^2 - b*x - a

Comentar:
Eu stiu ca vreau la sfarsit valorile proprii 1,2,3.
Asa ca imi fac rost de polinomul f cu aceste radacini.
Apoi asociez matricea "companion" a lui,
pari vrea versiunea transpusa, nu o sa ne doara transpunerea.
Polinomul ei caracteristic este polinomul cu care am plecat.
Eu duc lipsa unui 11 in polinomul caracteristic calculat. (Vad un 5 care nu stiu de unde vine).

Calcul explicit al determinantului matricii

-x 1 0
0 -x 1
6 -11 6-x

(Sarrus)
xx(6-x) + 6 + 0
-0 -0 -11x

=

-xxx + 6xx -11x +6 .

Mda, aveti dreptate (cand aplicam Sarrus la diagonala secundara nu inmulteam cu 0 ...totusi e ciudat ca am incercat de multe ori)!
Acum, daca nu va suparati, imi puteti explica, va rog, si ce am gresit la gasirea lui S?

Literele sunt prea generale mai sus. Cand ele iau valori speciale, dam de zero...

Voi lucra cu cifrele din contextul dat.

Plec cu A care este
0 1 0
0 0 1
6 -11 6

Ne legam de valoarea proprie 1.
O scadem pe diagonala. Dam de A-I care este
-1 +1 0
0 -1 +1
6 -11 5

Cineva ne spune deja ca determinantul este nul. Deci putem gasi o combinatie liniara a liniilor... Facem atunci produsul vectorial al primelor doua linii.
-1 1 0
0 -1 1
tot lasand la o parte cate o linie, calculand determinanti, punand semne precum culorile pe tabla de sah. Dam de 1 1 1. Acesta este vectorul S e1 .
Nota: si a treia linie "verifica", deoarece 6-11+5 = 0.
Noi nu stim inca cine este S-ul, dar S.e1 este / va fi
[1]
[1]
[1]

Ne legam de valoarea proprie 2.
O scadem pe diagonala. Dam de A-2I care este
-2 +1 0
0 -2 +1
6 -11 4

Facem atunci produsul vectorial al primelor doua linii.
-2 1 0
0 -2 1
Dam de 1 2 4. Verificam cu oarecare neincredere produsul scalar
(6 -11 4).(1 2 4) = 6-22+16 = 0, da, si a treia linie sta perpendicular fata de acest vector propriu. Deci S.e2 este / va fi
[1]
[2]
[4]

Ne legam de valoarea proprie 3. Dam de A-3I care este
-3 +1 0
0 -3 +1
6 -11 3

Facem atunci produsul vectorial al primelor doua linii.
-3 1 0
0 -3 1
Dam de 1 3 9. Produsul scalar cu al treilea vector este
(6 -11 3).(1 3 9) = 6-33+27 = 0, e bine. Deci S.e3 este / va fi
[1]
[3]
[9]

Cred ca este clar ca ori de cate ori avem de lucru cu o astfel de matrice companion dam de calcule care ne pun in evidenta matrici van der Monde, cum este si S-ul de care am dat, S = SI = S[ e1 e2 e3 ] = [ S.e1 S.e2 S.e3 ] care este
[1 1 1]
[1 2 3]
[1 4 9]

Care este deci descompunerea lui A , vazut ca o conjugare a unei matrici diagonale (la noi D = diag( 1,2,3 ), valorile proprii vin pe diagonala in aceasi ordine ca si vectorii proprii la asamblarea lui S) ?

Verificare cu calculatorul:
(20:44) gp > A = [0,1,0; 0,0,1; 6,-11,6]
%5 =
[0 1 0]
[0 0 1]
[6 -11 6]

(20:44) gp > S = [1,1,1; 1,2,3; 1,4,9]
%6 =
[1 1 1]
[1 2 3]
[1 4 9]

(20:44) gp > S^(-1)*A*S
%7 =
[1 0 0]
[0 2 0]
[0 0 3]

(20:44) gp > S^(-1)
%8 =
[3 -5/2 1/2]
[-3 4 -1]
[1 -3/2 1/2]

Cum se face produsul vectorial? (tine cumva de spatiile vectoriale?)

[Citat] Cum se face produsul vectorial? (tine cumva de spatiile vectoriale?)

http://ro.wikipedia.org/wiki/Produs_vectorial_a_doi_vectori
http://en.wikipedia.org/wiki/Cross_product
(Pagina in limba romana arata deplorabil.)

Mai sus am avut nevoie doar de un vector perpendicular pe doi vectori liniar (liniar independenti) din cei trei, deci pe toti trei.
Regula algebrica de a scrie produsul vectorial a doi vectori cu componentele
a,b,c
respectiv
s,t,u
este asa... (Eu scriu vectorii intotdeauna ca vectori coloana, daca pot.)
Ne uitam la matricea 3x2:

a s
b t
c u

Cine vrea poate sa se uite la matricea 3x3 care este (transpusa lui)
* a s
* b t
* c u

Vrem sa construim din adjuncta acestei matrici doar prima coloana.
Ea nu depinde de stelutze, asa ca putem sa scriem rezultatul repede.

Omitem cate o linie incepand cu prima si dam de matrici 2x2.
Le calculam determinantul.
Mai punem in fata semne +, -, + in ordine. (Leibniz.)

Dam de un vector cu componentele:

+( bu-ct )
-( au-cs )
+( at-bs )

Tema:
Care este produsul vectorial al vectorilor [-3 1 0] si [0 -3 1] ?