Fie ABCD un trapez cu baza mare CD si O intersectia diagonalelor sale. In exteriul trapezului consideram punctele M si N a.i.

si

. Sa se arate ca M,O si N sunt coliniare si

.

Am demonstrat ca M,O si N sunt coliniare ( se foloseste inscriptibilitatea patrulaterului AMDO) ,dar nu si inegalitatea .

Nu pot face figura, dar adun cateva lucruri care o fac mai fotogena pentru fiecare care incearca sa faca figura.

AM este paralel cu CN.

DM este paralel cu BN.

Triunghiurile ADM si ABO sunt asemenea. (Unghiurile din ele marcate cu 1,2...) Notam cu 3 marimea celui de-al treilea unghi.

Triunghiurile CBN si ABO sunt asemenea. (Unghiurile din ele marcate cu 1,2...) Am notat deja cu 3...

AMDO este inscriptibil pentru ca in el unghiul din O si unghiul "3" sunt suplementare, ne uitam la unghiul BOD.

BNCO este inscriptibil. Argumentam la fel.

M,O,N sunt coliniare, deoarece unghiurile MOA, AOB si BON sunt unghiurile 1,2,3 care au suma ... (Ne uitam la unghiurile triunghiului ABO.)

Ramane inegalitatea. Am construit pentru usurare punctul U, astfel incat patrulaterul MACU este un paralelogram. In particular, CU || AM || NC, deci N,C,U sunt coliniare.

Observam acum ca urmatoarele triunghiuri sunt asemenea:

M N U si
B D A .

Pentru acest lucru facem rost de unghiuri egale.
<(MUN) = <(MAC) = <(DAB) deci unghiurile din U si A se corespund,
<(MNU) = <(ONC) = <(OBC) =<(DBC) = <(BDA) deci unghiurile din N si D se corespund.

(Varfurile corespondente le pun mereu unul sub altul.)

Scriem proportionalitatea de laturi:
MU : MN = BA : BD si folosim MU = AC.

Dam de
AC . BD = MU . BD = MN . BA .
Hmmm...

Multumesc!

Mi-am scris rez dvs. pe o hartie si am incercat sa o inteleg, dar nu am inteles de ce AM||CN... cand m-am uitat din nou pe aceasta pagina, am observat ca desenul este facut gresit... CD este baza mare a trapezului, nu CB. :D,deci, din pacate, rezolvarea e gresita (cred ca demonstratia ca M,O,N sunt coliniare este corecta..dar nu si partea a 2-a )