Consideram un triunghi ABC si D,E,F intersectiile medianelor din A,B, respectiv C cu cercul circumscris triunghiului. Sa se arate ca daca

atunci ABC e triunghi echilateral.

Ne uitam la coardele AD si BE si tare vrem sa adunam vectorii corespunzatori.
(Orientati ca-n problema.)

Fie G centrul de greutate al lui ABC.
Fie O centrul cercului circumscris lui ABC.

Notez repede cu A'' si B'' mijloacele laturilor ce se opun varfurilor A, respectiv B.

Sa luam atunci A' si B' "dincolo de G" fata de A, respectiv B astfel inca sa avem vectorial:
[AD> = [GA'> si
[BE> = [GB'> .

Acum adunam cei doi vectori ce au extremitatea de plecare comuna, G-ul.
Facem rost de un paralelogram.
Care are diagonala de-a lungul celei de-a treia mediane.

Bine, dar acest lucru se intampla si cu [GA''> si [GB''>.
(Folosim doar informatia despre directia sumei de vectori. Poate ajunge.)

Rezulta ca triunghiurile GA'B' si GA''B'' sunt asemenea.
Stim ca triunghiurile GAB si GA''B'' sunt asemenea.
Rezulta ca triunghiurile GAB si GA'B' sunt asemenea.
Formand proprotii derivate, rezulta ca si GAB si GDE sunt asemenea.

Deci AB || DE.
Prin simetrie de argumentare si celelalte.

Cele doua triunghiuri ABC si DEF sunt in perspectiva, centrul de perspectiva fiind G. Ele sunt asemenea si inscrise in acelasi cerc, deci sunt congruente.
Raportul de perspectiva fata de G este deci (minus) 1 .

Homotetia de centru G si raport -1 duce deci cercul prin A,B,C (tot intr-un cerc, anume) in el insusi. Deci G este centrul acestui cerc,

G = 0.

Deci mediana prin A'' si mediatoarea prin A''... sunt inaltimea... deci ABC isoscel in A. La fel si in B. (Si C). Deci ABC echilateral.

Multumesc!

Ce inseamna perspectiva fata de G?