18.Determinati cifrele nr A = 2*10^n+2 + 10^n + 3 *10^n-3 -1
19. Aratati ca nr 3 + 3^2 + 3^3+...+ 3^123 se divide cu 13.
20. Afati nr natural n care verifica egalitatile:
a) 2+2^2+2^3+...+2^n= 2^55-2
b) 2^n +2^n+1 +2^n+2=56
21.Fie nr:
A= ( 2+2^2 +2^3+....+ 2^2000) +( 7 +7^2 +7^3+...+7^2000) +(9+9^2 +9^3+...+9^2000)
verficati daca este patrat perfect.

Rog a nu se mai prescurta. Efortul de tiparit cateva litere in plus ii respecta pe cei cam tot atatia care citesc. Daca pe litera care dispare dam la o parte si un cititor...

Ceva de forma 10^n+2 se intelege pentru n=1 drept 10^1+2 = 10+2 = 12.
Cu totul altceva se intelege daca scriem 10^(n+2).
Aceste paranteze sunt esentiale.

Nu putem verifica un lucru daca nu stim ce lucru.

Voi rescrie enunturile, asa cum vin ele probabil, cu rugamintea de a incerca sa rezolvam impreuna.

[Citat]

18. Sa incercam impreuna.
Ce numere obtinem in cazurile n=3, n=4, n=5, n=6 ?

19. Tot impreuna:

(Alternativ, acum ca stim cam cum stau lucrurile.)
Ne uitam la primii trei termeni.
3 + 3² + 3³ = 3 + 9 + 27 = 3(1+3+9) = 3 x 13 se divide cu 13.
Ne uitam la urmatorii 3 termeni si dam tot asa puterea lui 3 factor comun...
Ne ui...

20. (a) Este clar ca suma din partea stanga a egalitatii creste, cand n creste.
(Este o functie strict crescatoare de variabila n.)
Daca il luam pe n=55, deja depasim cu ultimul termen ceea ce trebuie sa obtinem in partea dreapta.

Ce valoare obtinem daca il luam pe n=54 ?

20. (b) Putem da 2^n factor comun. Pe langa ce in partea stanga. Cum se termina repede problema?

21. Calculam restul impartirii cu rest la 4 a numarului dat.
Din prima paranteza doar 2 nu se divide cu 4, il retinem
Din a doua paranteza, 7+7² este 7(1+7), se divide cu 8, deci si cu 4. La fel si cu 7³+7? = ...(1+7), si la fel cu toate perechile pe care le putem construi astfel.
Din ultima paranteza, fiecare termen da restul 1 la impartirea cu 4.
De exemplu 9² = (8+1)(8+1), inmultim fiecare cu fiecare, ori de cate ori vedem un 8 pe post de factor ne declaram multumiti, dam doar de 1x1 care este 1.

Care este deci restul numarului dat la impartirea cu 4?

21.Fie nr:
A= ( 2+2^2 +2^3+....+ 2^2000) +( 7 +7^2 +7^3+...+7^2000) +(9+9^2 +9^3+...+9^2000)
verficati daca este patrat perfect.

21.Fie nr:
A= ( 2+2^2 +2^3+....+ 2^2000) +( 7 +7^2 +7^3+...+7^2000) +(9+9^2 +9^3+...+9^2000)
verficati daca este patrat perfect.

19. Aratati ca numarul

se divide cu 13.
Putem sa zicem si asa :
Suma are 123 de termeni.In cazul unor astfel de sume cautam sa grupam termenii sumei, in fiecare grupa numarul termenilor fiind divizor al numarului total de termeni (asta pentru a nu ramane termeni razleti!) iar suma termenilor din fiecare grupa sa fie divizibila cu numarul dat.
Grupam deci termenii cate 3 (divizor al lui 123!)

care este divizibil cu 13.
Putem face 123:3=41 grupe ,suma termenilor din fiecare grupa fiind divizibila cu 13.

21.Fie nr:

verficati daca este patrat perfect.
In suma

incepand cu al doilea termen toti se divid cu 4. Deci suma este de forma

.
Apoi:

.
Grupam termenii cate doi si suma puterilor lui 7 se divide cu 4 deci este de forma

In final

Suma puterilor lui 9 are 2000 termeni deci este de forma

Inseamna ca

, deci A nu este patrat perfect (deoarece nu exista patrate perfecte de forma 4k+2 sau 4k+3.

20. Aflati numarul natural n care verifica egalitatile:

(a)

.

(b)

la a) aduna in ambii membri 2 si apoi din aproape in aproape

la b) dai factor comun

si apoi imparti la 7