Am primit ast?zi tem? pân? pe 1 noiembrie, sunt dispus s? pl?tesc pe cel care m? poate ajuta.

Setul de exerci?ii poate fi g?sit aici:



O dup? amiaz? pl?cut?.

[Citat] Am primit ast?zi tem? pân? pe 1 noiembrie, sunt dispus s? pl?tesc pe cel care m? poate ajuta. Setul de exerci?ii poate fi g?sit aici: <imagine taiata...>

Din pacate cu poza nu am nici un ciot de inceput, chiar trebuie sa tipareasca rezolvitorul totul din nou?

Aici plata vine in valuta forte, se numeste intelegere si de obicei toti incearca sa-si achite platile cat mai repede pe aici. Sa incercam asadar impreuna... Pe rand, dupa ce elucidam o problema ne apucam de urmatoarea.

Cateva indicatii:

(5) Ne uitam la seria care trebuie calculata.
Ne facem ca nu stim ca avem de-a face cu o rescriere inestetica a unei relatii cunoscute:
http://en.wikipedia.org/wiki/Wallis_product

Cel ce a propus problema incearca sa ne facem sa ne concentram asupra impachetarii. In fine. Ce obtinem daca scoatem logaritmul in fata urmatoarelor sume finite pana la un N natural > 1 fixat?

As dori sa vad logaritmul dintr-un produs de fractii care seamana cu cele din link-ul de mai sus.



(2) Aceasta problema este cu siguranta cea mai simpla.
Ni se da o functie f : X -> Y .

Asociem functiile g si h...
sa intelegem ce vrea problema de la noi cu g-ul
g : P(X) -> P(Y) este functia care
trimite o submultime A a lui X in f(A), imaginea lui A prin X.

Rog a ni se explica de ce are loc implicatia "triviala", anume:
Daca f este bijectiva, atunci g este bijectiva.

Iata o indicatie pentru inversa / implicatia reciproca.
Presupunem ca g este bijectiva. Ce este atunci g(X) ? Ce deducem de aici?

Presupunem ca pentru doua valori x, x' din X avem f(x) = f(x').
Aratam ca atunci x=x'.
(Daca facem acest lucru pentru toti x, x' cu f(x) = f(x') am demonstrat injectivitatea.)

Daca ne legam de submultimile cu un element {x} si {x'} ale lui X...

Mai departe:
Cum se exprima in termeni umani, usor de digerat ce face h-ul.
Cum se arata implicatia triviala?
Cum putem lupta mai departe?
(Intelegerea este o rasplata suficienta in acest caz, odata cu ea vine si increderea in tortele proprii.)


(1) (i) . Tot ceva simplu. Relatia trebuie numai digerata.
Eu o sa rescriu acel S stupid sub forma ~ .
Relatia este definita pe tuplete (x,y) de numere reale.
Doua astfel de tuplete
(x,y) si (u,v) sunt declarate a sta in relatia ~ daca si numai daca are loc

a xx + b yy =
a uu + b vv .

Sa zicem ca avem a=b=1. In ce caz avem o astfel de relatie?
Care este aceasta semnificatie geometrica?
(Cel ce propune problema doreste doar sa ne faca frica, de fapt el nu doreste asa ceva, trebuie doar sa se exprime precis si la obiect, de aceea uneori sobrietatea se interpreteaza ca incercare de intimidare...)

Care sunt deci clasele de echivalenta in cazul cu a=b=1 ?
Care este de exemplu clasa de echivalenta a lui (0,0) ?
Dar a lui (3,4)?

(4) Ni se cere sa aratam ca un sir este fundamental. (Adica Cauchy.)
Pe IR un astfel de sir este asa, daca si numai daca converge.
Asa ca mai bine ne cerea direct sa aratam ca converge.

Ne uitam apoi mai bine la sirul y(n) definit in modul urmator:

y(n) = x(n+1) / x(n) .

Care este expresia mai simpla a (produsu)lui
y(0) y(1) y(2) ... y(n) ?

Cum se reexprima inegalitatea data pentru sirul x in "limba" lui y ?

Intrebare:
Daca un sir z(n) de numere reale pozitive converge la o valoare L,
exista limita sirului de termen general (al n-lea)

(radical de ordin n)( z(1) z(2) ... z(n) ) ?

De ce?
Poate ca daca logaritmam dam de un rezultat cunoscut,
Ce zaruri se arunca asadar la colt?!


(3) Rog a se reformula (j) ca sa avem si noi notatiile si cadrul.
O trimitere la
[url]http://en.wikipedia.org/wiki/Lattice_(order)
http://en.wikipedia.org/wiki/Modular_lattice
ar fi ajutat cititorul.

Demonstratia nu ma intereseaza pentru inceput.
Pentru a fi sigur ca stim ce facem mai departe, as dori sa intelegem ce inseamna proprietatile (j), (jj), (jjj) pentru laticea modulara P(M) a partilor/submultimilor unei multimi M date. Ordinea este incluziunea.

In acest caz notam cu A,B,C, ... elementele lui P(M).
Operatiile sunt:

A /\ B este intersectia, "minimul" (A,B) in P(M) cu ordinea/incluziunea.
A \/ B este reuniunea, "maximul" (A,B) in P(M) cu ordinea/incluziunea.

De ce au loc proprietatile (j), (jj), (jjj) in acest caz.
(Cat de mult seamana (j) si (jj) in acest caz? Aceasta nu este o intrebare matematica, dar clarifica poate cum "rolurile" din (j) conduc la asigurarea "rolurilor" din (jj).)

Gauss, resursele pentru tem? pot fi g?site aici: http://thor.info.uaic.ro/~fliacob/An1/2012-2013/Resurse/Pentru%20curs/Note%20de%20curs/

Am postat linkul deoarece am v?zut afirma?ia cu ?rezolvitorul?.

Dac? m? po?i ajuta cu rezolvarea (?i un price quote), sper s? ne putem în?elege, cum spuneam am nevoie de ea pân? pe 1 noiembrie...

Mul?umesc anticipat !

Resurele nu ne ajuta prea mult. Le prefer pe cele proprii.

Cred ca cel mai repede terminam problemele daca ne apucam de ele, pretul este sa intelegem impreuna. Lucrul acesta este mai usor de crezut decat pare, pe bune! Mai e o droaie de timp pana se schimba luna.

Pentru inceput ajunge daca incepem sa discutam pe marginea la una din probleme.
Unele sunt usor fezabile!
Mai devreme sau mai tarziu va veni si solutia completa (rand pe rand).
De care ne apucam asadar?

Eu spun s? le lu?m pe rând, începând cu prima.

[Citat] (1) (i) . Tot ceva simplu. Relatia trebuie numai digerata. Eu o sa rescriu acel S stupid sub forma ~ . Relatia este definita pe tuplete (x,y) de numere reale. Doua astfel de tuplete (x,y) si (u,v) sunt declarate a sta in relatia ~ daca si numai daca are loc a xx + b yy = a uu + b vv . Sa zicem ca avem a=b=1. In ce caz avem o astfel de relatie? Care este aceasta semnificatie geometrica? (Cel ce propune problema doreste doar sa ne faca frica, de fapt el nu doreste asa ceva, trebuie doar sa se exprime precis si la obiect, de aceea uneori sobrietatea se interpreteaza ca incercare de intimidare...) Care sunt deci clasele de echivalenta in cazul cu a=b=1 ? Care este de exemplu clasa de echivalenta a lui (0,0) ? Dar a lui (3,4)?

Ave?i de r?spuns la întreb?rile de mai sus, mai întâi.
Dac? v? imagina?i c? o s? v? ofere cineva solu?iile "de-a gata" pentru bani, c?uta?i alt site.
Dac? îns? chiar vre?i s? în?elege?i cum se rezolv? astfel de probleme, încerca?i s? r?spunde?i la întreb?rile puse de dl. Gauss.

Tocmai ce îmi editam postul, doar c? dureaz? un pic pân? m? documentez în leg?tur? cu unele nota?ii fiindc? am avut o mic? ?disfunc?iune? ?i nu am putut ajunge la ultimele 3 cursuri/seminare. Acum încerc s? recuperez.. dar a mai venit ?i tema.

În ideea c? nu am f?cut nimic concret, exerci?ii sau orice altceva ?i îmi este destul de greu s? îmi dau seama doar din teoria care ?i a?a e pu?in?.

Ok, cred c? nu am ales facultatea potrivit? chiar dac? fac programare de 5 ani, poate aveam alte a?tept?ri de la nivelul matematicii practicat la facultatea de Informatic?. Totu?i, am 10 minute de când încerc s? m? l?muresc ce este o clas? de echivalen?? (c?utând în cursuri / google) ?i cum ajung la una,în cazul în care am rela?ia scris? de Dl. Gauss, a*x^2 + b*y^2 = a*u^2 + b*u^2 atunci când am a=b=1;

În?eleg c? pentru a = b = 1 avem xx + yy = uu + vv, dar ce semnifica?ie geometric? reprezint? în momentul în care sunt în rela?ia S(notat ~) pe RxR ?i R ce reprezint? egalitatea.

Am în?eles enun?ul, m?car ?sta este un pas în plus, dar cum ajung la o clas? de echivalen??, îmi pute?i oferi vreun exemplu clar pe care l-a? putea urma ?

[Citat] Ok, cred c? nu am ales facultatea potrivit? chiar dac? fac programare de 5 ani, poate aveam alte a?tept?ri de la nivelul matematicii practicat la facultatea de Informatic?. Totu?i, am 10 minute de când încerc s? m? l?muresc ce este o clas? de echivalen?? (c?utând în cursuri / google) ?i cum ajung la una,în cazul în care am rela?ia scris? de Dl. Gauss, a*x^2 + b*y^2 = a*u^2 + b*u^2 atunci când am a=b=1; În?eleg c? pentru a = b = 1 avem xx + yy = uu + vv, dar ce semnifica?ie geometric? reprezint? în momentul în care sunt în rela?ia S(notat ~) pe RxR ?i R ce reprezint? egalitatea. Am în?eles enun?ul, m?car ?sta este un pas în plus, dar cum ajung la o clas? de echivalen??, îmi pute?i oferi vreun exemplu clar pe care l-a? putea urma ?

Facultatea este cu siguranta cea potrivita.
In matematica ajunge sa se treaca de o anumita granita de traducere a abstractizarii in simt uman, este exact ceea ce facem si in informatica.
Mersul pe bicicleta.

Incerc sa explic ce este o relatie de echivalenta si ce este o clasa de echivalenta fata de ea pe baza catorva exemple. Sa zicem ca in Romania toti elevii se duc la scoala. Definim relatia de echivalenta :: care se citeste "sunt colegi de clasa" asa: Doi elevi sunt in relatia :: daca si numai daca ei sunt in aceeasi scoala in aceasi clasa. Este clar ca

Ilie Vintila de la Padureni este in aceeasi clasa cu el insusi,
daca Ilie e coleg de clasa cu Gheorge, atunci si Gheorghe cu Ilie,
daca Ilie e coleg de clasa cu Gheorge si Gheorghe cu Ana, atunci si Ilie cu Ana.

In cazul de fata relatia a avut contururi umane.
Ei bine, o clasa de echivalenta este o multime (nevida) "cat mai mare" de elevi in care oricare doi stau in relatie. Este clar ca o astfel de clasa fata de ~ este (strict vorbind) multimea de elevi din una si aceasi clasa. Putem "izola" o clasa daca ii dam un reprezentant (dupa acea ii luam toti colegii...), asta se face si in matematica.

Sa revenim la cazul cu relatia ~ (de colegialitate dintre puncte) din problema.
Elevii nu mai sunt elevi ci puncte (x,y) din planul cartezian.
(Planul cartezian este acest IR x IR = { (x,y) : x in primul IR si y in al doilea IR } .)
Doua puncte sunt "colege" daca are loc o relatie algebrica. Trebuie sa intelegem acea relatie algebrica. Sa ne legam atunci de punctul (3,4) .
(Am luat a=b=1, daca intelegem cazul acesta am inteles problema!)
Care ar mai fi colegi cu (3,4) ?
Ce trebuie sa satisfaca un astfel de coleg (u,v) ?

Nota: Intelegerea relatiilor si a produselor carteziene sunt lucruri esentiale pentru un informatician. Exista banci de date relationale, modul in care se fac JOIN-urile in clauze WHERE din selectari pe astfel de baze de date se inteleg cel mai bine din punctul de vedere al relatiilor. Produsul cartezian este la fel de des intalnit in selectari. De exemplu ceva de forma

select cli.nume, car.titlu
from client cli, carte car

ne da ca rezultat produsul cartezian al multimii clientilor cu multimea cartilor. (Vindem carti pe internet.) Daca sunt in banca de date doar trei clienti A,B,C si patru carti "Ion", "Baltagul", "Norii" si "Elegii", atunci avem 3x4 rezultate. Aceste rezultate le gandim a fi in relatie doar pentru motivul ca au aceleasi "atribute" (nume de coloane). Cu alte cuvinte, ele incap foarte bine in "aceeasi tabela" (cu coloanele numite nume si titlu).

Tot asa cum in analiza, plecand cu functii facem rost de alte functii prin derivare de exemplu, si cu tabelele facem rost de tabele din ce in ce mai mari.
Sau luam subtabele... In literatura de specialitate asa ceva se explica folosind limbaj matematic abstract. (Mai ales cand e vorba de optimizat cautarile.)

Fiindca vorbim, am aflat ca e mai bine daca avem exemple din lumea programarii. Pai atunci e excelent. Sa luam o relatie asemanatoare. Ca sa putem programa fac lucrurile finite.

Fie X multimea {-10,-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} .
Consideram perechile (x,y) din multimea XxX, deci ambele componente sunt din X-ul de mai sus.

Doua perechi (x,y) si (u,v) le numim prietene, in scriere
(x,y) ~ (u,v)
daca si numai daca are loc intamplator xx+yy = uu+vv .
Un program rapid listeaza toate prieteniile. (Tema de incalzire. Se merita.)
De exemplu programul va lista
(1,3) ~ (1,3) printre multe altele.
Ca sa mai scurtam din printare, facem al doilea program care listeaza doar clasele. care este de exemplu clasa lui (3,4) in XxX ?
(Intelegem intai sa vedem semnificatia in informatica, nu ne legam deloc de geometrie.)

Un exemplu bun de relatie de echivalenta pentru informaticieni este urmatorul:
RE este multimea expresiilor regulate.
Doua expresii regulate sunt echivalente daca valideaza exact aceleasi lucruri.
De exemplu a.* valideaza orice cuvant ce incepe cu a. Putem sa ne complicam sub forma a|a.+ si validam cuvantul "a" sau orice cuvant ce incepe cu a si mai are cel putin inca o litera.
Este greu de descris clasele de echivalenta, dar functionalitatea le leaga.

Ei bine, si in problema data avem o legatura, aceasta nu este functionala, ci geometrica... Daca vorbim, lucrurile se clarifica usor.

[Citat] Ilie Vintila de la Padureni este in aceeasi clasa cu el insusi, daca Ilie e coleg de clasa cu Gheorge, atunci si Gheorghe cu Ilie, daca Ilie e coleg de clasa cu Gheorge si Gheorghe cu Ana, atunci si Ilie cu Ana.

Legându-m? de astea, revenim rela?iile de simetrie, tranzitivitate ?i reflexivitate, pe care nu am putut s? nu le observ.

Luând (3,4) ?i (-3,-4) (Numere pitagoreice pentru valori întregi) avem (a*3*3 + b*4*4) R(=) (a*-3*-3 + b*-4*-4)


* Ce trebuie sa satisfaca un astfel de coleg (u,v) ?
-- Un coleg (u,v) trebuie s? aib? distan?a (fa?? de 0,0) egal? cu cea a perechii (x,y) (fa?? de (0,0)). Dac? m-am exprimat destul de bine.
* Care ar mai fi colegi cu (3,4) ?
-- (-3,4),(-3,-4),(-4,3)

* Care este aceasta semnificatie geometrica?
-- Ca ?i form? geometric? reprezint? un p?trat, ca ?i semnifica?ie nu ?tiu ?
* Ce semnific? perechea (RxR/~) atunci cand R este rela?ia uzual? "<=", de ordine total?, pe R?
-- Nu ?tiu cum se face o împ?r?ire a unui produs cartezian la o rela?ie binar?.

[Citat] * Ce trebuie sa satisfaca un astfel de coleg (u,v) ? -- Un coleg (u,v) trebuie s? aib? distan?a (fa?? de 0,0) egal? cu cea a perechii (x,y) (fa?? de (0,0)). Dac? m-am exprimat destul de bine.

Da, exprimarea este excelenta, ea este semnificatia geometrica (distanta este o afacere geometrica) de care s-a legat problema.

[Citat] * Care ar mai fi colegi cu (3,4) ? -- (-3,4),(-3,-4),(-4,3) * Care este aceasta semnificatie geometrica? -- Ca ?i form? geometric? reprezint? un p?trat, ca ?i semnifica?ie nu ?tiu ?

... si (5,0), (-5,0), (0,5), (0,-5) ... (dar aceasta este alta problema)
Desenam aceste puncte pe o foaie de hartie (de matematica).
Mai sunt multe alte puncte de coordonate ne-intregi la fel de colegiale.
De exemplu ( 7/5, 24/5 ) si celelalte puncte in care mai introducem semn(e) si/sau schimbam locurile.

Dupa ce le desenam pe toate, parca nu este un patrat...

[Citat] * Ce semnific? perechea ( IR x IR / ~ ) atunci cand R este rela?ia uzual? "<=", de ordine total?, pe IR? -- Nu ?tiu cum se face o împ?r?ire a unui produs cartezian la o rela?ie binar?.

Revin la colegialitatea in care (x,y) ~ (u,v) daca si numai daca
xx + yy = uu + vv .
Aici perechile (x,y) si (u,v) sunt din produsul cartezian IR x IR .
Notatia ( IR x IR / ~ ) este doar o notatie pentru multimea claselor de echivalenta fata de ~ . Sa clarificam mai intai care este aceasta multime si cum o putem intelege uman.

Trecem apoi la a,b > 0 , cazul general.

Apoi vedem ce devine relatia "S" definita in dependenta de relatia "R", atunci cand "R" este "<=" .


Nota: Sa mergem asa mai departe! Este excelent, eu am citit si corectat multe lucruri in viata, ori de cate ori se vede ca cel ce scrie solutia o scrie cu propria mana (indiferent cat de multe imprecizii apar pe drum, cu conditia ca drumul sa mearga drept inainte) cel ce citeste are un joc usor. Si in cazul cu tema de fata. S-ar putea ca scriind cu propria mana solutia sa mai fie puncte unde se poate baga vina, dar cel mai important este de a vedea unde apar corecturile. Asa se invata cel mai usor, pe mine ma bucura mereu sa fiu corectat, se intampla des, vad exact unde mai am slabiciuni de exprimare, inexactitati sau scapari.