Daca xy+xt+yz+zt=1 calculati valoarea minima a espresiei x^2+3y^2+z^2+6t^2.

[Citat] Fie x,y,z,t numere reale. Daca xy + xt + yz + zt = 1 calculati valoarea minima a expresiei x^2 + 3y^2 + z^2 + 6t^2.

La ce nivel trebuie rezolvata problema?
(Este un lucru important. La nivel de facultate exista o metoda standard de lucru.)

O sa incerc sa dau solutia care este cat de cat accesibila la nivel de liceu.

Expresia care este constanta este:
(x + z)(t + y) = 1

Sa zicem ca ne dirijam privirea pentru inceput la suma S = x+z .
Atunci expresia de minimizat contine

x² + z² >= (x+z)² / 2 = S² / 2

cu egalitate daca si numai daca x=z
si este clar ca expresia data devine mai mica
daca schimbam un punct (x,y,z,t) in care x si z difera
cu punctul ( S/2, y, S/2, t ) .

Desigur ca ne dirijam mai departe privirea la suma S' = y+t .
Atunci expresia de minimizat contine (triplul) lui

y² + 2t² .

Pentru a ne face rost de un minim cu y+t, aplicam Cauchy-Schwarz,

( y² + 2t² ) ( 1 + 1/2 ) >= (y+t)² .

Si acum urmeaza cateva intrebari care conduc la solutia finala.
Rog a mi se raspunde:

- Cand are loc egalitatea in ultima inegalitate (in y,t) ?
- Dat fiind un punct (x,y,x,t) cu y+t = S', cum putem alege (fara a restrange generalitatea) pe pozitiile lui y,t valorile daca avem doar obiectivul minimizarii in fata ochilor?
- Care este conditia data daca o rescriem in functie de S si S' ?
- Care este functia de minimizat in S si S' ?
- Unde dam de acest minim?
- Care este deci punctul de minim al functiei initiale si ce valoare se atinge in acest punct?