Buna ziua. Daca cineva ar binevoi sa ma ajute cu aceste exercitii, orice sfat m-ar ferici.

1)Pe multimea ? se introduce legea de compozitie '*' definita prin:
x*y=|x|+|y|-|xy|, x,y ? R
a)Aratati ca legea '*' este comutativa . Este '*' asociativa?
b)Aratati ca M=(-1,1) este parte stabila a lui ? in raport cu legea '*'.

2)Pe multimea G=(-?,1), definim x*y=xy-2 totul supra x+y-3, x,y ? G
a)Demonstrati ca '*' este o lege de compozitie pe G.

Multumesc.

[Citat]

La partea cu stabilitatea trebuie sa aratam ca x*y este in M.
Sagetile pleaca de la x*y in M...

Astfel de poze rog a nu se mai plasa pe pagina.

Merci!
Presupun ca din (x*y)*z=x*(y*z) ||x|+|y|-|xy||+|z|-|z(|x|+|y|-|xy|)| nu este asociativa cu ||y|+|z|-|yz||+|x|-|x(|y|+|z|-|yz|)|.

(1)

Ca sa intelegem problema / structura / operatia,
trebuie sa o intelegem pe cat putem prin comparatie cu structuri deja existente.
(Potem sa rezolvam problema, dar este inca bine sa intelegem structura dupa aceea.)

In cazul de fata este indicat sa rescriem:

x*y
= 1 - ( 1 - |x| - |y| + |xy| )
= 1 - ( 1-|x| )( 1-|y| )

In ultima forma se vede stabilitatea in modul cel mai simplu.
(Ca sa mai reducem din decoratii, din acele module, este chiar bine sa vedem ca
x*y = |x|*|y| .)

Stabilitatea:
Fie x,y in (-1,1).
Atunci |x|, |y| se afla in [0,1) .
Atunci 1-|x|, 1-|y| se afla in (0,1] .
Atunci produsul ( 1-|x| )( 1-|y| ) se afla in (0,1] .
Atunci diferenta 1 - ( 1-|x| )( 1-|y| ) se afla in [0,1) .

In particular vedem ca x*y = |x*y| .

Sa vedem daca avem sau nu asociativitatea.
(A demonstra ca nu avem revine la a gasi un contraexemplu, nu ajunge sa scriem doua formule lungi despre care ni se pare ca nu este verosimil sa fie egale...)

Fie x,y,z in (-1,1) . Atunci

(x*y)*z
= 1 - ( 1-|x*y| )( 1-|z| )
= 1 - ( 1- (x*y) )( 1-|z| )
= 1 - ( 1-|x| )( 1-|y| )( 1-|z| )

Pe partea cealalta... .

Mai sus, intr-o poza pe care nu o mai citez prin citare, ci prin rescriere, avem ceva de forma
"
|x| + |y| este in [0,2)
si
|x| |y| este in [ 0,1 )
"
IMPLICA
|x| + |y| - |xy| este in (-1,1) .

De ce are loc aceasta implicatie?
(Ma intereseaza doar de ce dau de un numar < 1.)

Aici m-ati prins, am banuit ca asa este... insa nu am reusit sa demonstrez ca |x|+|y|- |x||y| apartine (-1,1). Ma puteti ajuta?

Mi s-a parut ca am inteles totul, dar dupa ce am examinat mai atent revelatia a disparut pentru ca la punctul a) erau date x,y ? R, pentru asociativitate.

Notatia din problema m-a incurcat putin,
pentru ca * este mai intai o operatie pe IR, apoi o operatie pe (-1,1).

In primul rand, pe IR nu avem asociativitatea operatiei *,
trebuie doar sa incercam pe un caz in care x*y nu este |x*y|,
deci in care x*y este negativ.

Iau x=y=2, z=10.
Atunci.

2*(2*10) = 2*( 2+10-20 ) = 2*(-8) = 2*8 = 2+8-16 = -6 si
(2*2)*10 = ( 2+2-4 )*10 = (-2)*10 = 2*10 = 2+10-20 = -8 .

Stabilitatea si asociativitatea pe (-1,1) le-am aratat mai sus.

Nota: Nu vreau sa "prind" pe nimeni, dar in astfel de cazuri este bine sa intevin, deoarece in conditii de olimpiada in aceste locuri se pierd nesperat de multe puncte. (Iar cei ce isi iau timp pe indelete si scriu prea mult inconjurand argumentele de doua ori iau toate punctele.)