S? se arate c? punctul x_{0}=2 este punct de acumulare pentru submultimea E http://latex.codecogs.com/gif.latex?E=\left%20\{%20\frac{2n}{n+1}|n\epsilon%20N^{*}%20\right%20\}

Problema cea mai grea a fost cea de a descifra care este multimea.
(Nivelul la care este pusa problema presupune cat de cat o oferta mai buna a prezentarii ei.)

[Citat]

Daca asa este "greu", in orice caz este mai bine ceva de forma:
E = { 2n/(n+1) | n numar natural nenul } .

Solutie: Sirul 2n/(n+1) converge la 2 pentru n spre +oo, deci 2 este un punct in inchiderea (topologica) a lui E. Deoarece 2 nu se afla in E care contine doar puncte 2n/(n+1) < 2(n+1)/(n+1) = 2, 2 este punct de acumulare.

Este posibil ca definitia unui punct de acumulare sa fie:

<<În analiza matematic?, prin punct de acumulare a unei mul?imi se în?elege un punct care are vecini oricât de apropia?i în mul?imea dat?.>>

asa cum apare pe pagina wiki din limba romana.
Enuntul nu este matematic riguros, dar ceea ce vrea sa spuna este cam asa in cazul nostru:

Sa se arate ca
pentru orice epsilon > 0
.... exista un x = x(e) element al multimii E, x diferit de 2,
........ astfel incat x se afla in bila ( 2-epsilon, 2+epsilon ) .

Solutia care raspunde exact la aceasta definiie este:
Ne dam un epsilon > 0 .

Cautam un x in E cu |x-2| < epsilon.
Echivalent: 2/(n+1) < epsilon.
Echivalent: (n+1) > 2/epsilon.

Ne luam atunci (conform unei axiome numita a lui Archimede) un n astfel de mare si am dat de un element, asa cum aveam nevoie de el.

mersi, am inteles ce trebuia de facut)