Salut!Am cateva probleme pe care nu stiu sa le rezolv.
1.x^2 = 4y^2 + 3y + 3
2.x^2-y^2+4x-y+3=0
3.Determinati solutiile reale ale sistemului:
2x=y +( n/y )
2y=z +( n/z )
2z=x +( n/x ) n numar nat. nenul.

4. Sa se determine masurile unghiurilor ascutite ale unui triunghi ABC,dreptunghic in A,stiind ca AB/AC - AC/AB = 2 radicali din 3.

5.Rezolvati ecuatiax^2 - x - 2)^3 + (x^2 + x + 2)^3 = (2x^2)^3

6.Rezolvati,in multimea numerelor reale,sistemul de ecuatii:
a+b+c = 5
ab+bc+ca = 7+a

Va rog,ajutati-ma,chiar as dori sa stiu metoda de rezolvare la aceste probleme,sunt foarte curios.Multumesc mult.

Probleme nu sunt culese de mine,ci de un profesor,din gazeta matematica nr. 4 daca nu ma insel...are vreo importanta?

[Citat] Probleme nu sunt culese de mine,ci de un profesor,din gazeta matematica nr. 4 daca nu ma insel...are vreo importanta?

Da! Are importan??.

[Citat] Salut!Am cateva probleme pe care nu stiu sa le rezolv. 1.x^2 = 4y^2 + 3y + 3

Ce se da si ce se cere?

[Citat] 2.x^2-y^2+4x-y+3=0

La fel, ce ecuatie este asta?

[Citat] 3. Determinati solutiile reale ale sistemului: 2x = y + n/y 2y = z + n/z 2z = x + n/x unde n>0 este un numar real, parametru al sistemului.

Am spatiat putin si l-am lasat pe n sa fie real pozitiv arbitrar.

Desigur ca excludem anularea pentru x,y,z.
Daca una din valorile x,y,z este <0, sa zicem prin simetrie ca avem x<0,
atunci z <0, apoi y<0. Deci toate sunt <0.
Inlocuim o astfel de solutie (x,y,z) cu (-x,-y,-z) care este de asemenea o solutie. Ajunge sa cautam deci solutiile pozitive ale ecuatiei date.

Incepem prin a observa ca notand cu r = radical(n),
avem solutia simetrica x = y = z = r.

Sa vedem ce mai ramane.
In primul rand, functia de noua variabila u de la ( 0 , +oo ) la ( 0, +oo ) care duce u in
f(u) = ( u + n/u ) / 2
ia minimul in r cu valoarea r in acest punct. (Si numai in acest punct.)
(Pentru asta putem aplica inegalitatea dintre mediile aritmetica si geometrica.)
Ea descreste strict pe (0,r] si creste strict pe [ r, +oo ) .

Daca una din valorile x,y,z din sistemul de mai sus este <r,
fara a restrange generalitatea sa luam prin simetrie cazul x<r,
atunci rezulta imediat
y = f(x) > r , deci y > r,
z = f(y) > r , deci z > r - si in sfarsit
x = f(z) > r , deci x > r . Contradictie.

Daca una din valorile x,y,z a sistemului este =r, rezulta imediat ca si celelalte sunt egale cu r .

Sa presupunem asadar ca exista o solutie cu x,y,z > r .
Folosim faptul ca pentru un u>r avem
f(u) - u = ( u + n/u ) / 2 - u = ( rr/u - u ) / 2 = (r-u)(r+u) / (2u) < 0 .
Deci f(u) < u .

Re aici
x = f(y) < y = f(z) < z = f(x) < x .
Contradictie.

Deci singura solutie pozitiva este x=y=z=r.
Cealalta este x=y=z=-r .

[Citat] 4. Sa se determine masurile unghiurilor ascutite ale unui triunghi ABC, dreptunghic in A, stiind ca AB/AC - AC/AB = 2 radical(3) .

Notam cu b,c catetele (opuse respectiv varfurilor B,C) si cu a ipotenuza.
Desigur ca
c/a = sin(C) si
b/a = sin(B) = cos(C) .

Fie x = AB/AC = c/b = sin(C) / cos(C) = tan(C) > 0 .
Atunci x satisface o ecuatie de gradul II care se deduce eliminand numitorul din

x - 1/x = 2 radical(3) .

Rezulta (luand numai solutia pozitiva a acestei ecuatii)
x = radical(3) + 2 .

Ma razgandesc, mi-e mai usor sa calculez
y = tan(B) = 1/tan(C) = 1/x = 2-radical(3)

Ce unghi are tangenta aceasta? Este un unghi "mic".
Dupa o mica escapada numerica cu un calculator de buzunar vedem ca unghiul corespunzator este pi / 12 .
De aceea este normal sa incercam sa calculam tangenta dublului unghiului.
Avem din y = tan(B) imediat

tan(2B) = 2y / ( 1-yy ) = radical(3) .

Deci B este pi/12, C este 5pi/12 .

[Citat] 5. Rezolvati ecuatia: (x^2 - x - 2)^3 + (x^2 + x + 2)^3 = (2x^2)^3

Banuiesc ca trebuie rezolvata in numere complexe.
Astfel de lucruri trebuie spuse.

Pe partea stanga sta ceva de forma
A^3 + B ^3.
Sper ca e clar cam cine sunt A si B.
Desigur ca putem factoriza sub forma
(A+B)(A² + AB + B²) .

Vedem ca x=0 este o solutie, acel A+B este factor pe ambele parti.
Ne ramane de rezolvat
(A² + AB + B²) = (A+B)² .
De aici nu mai avem probleme.

[Citat] 6.Rezolvati in multimea numerelor reale sistemul de ecuatii: a + b + c = 5 ab + bc + ca = 7+a

Ne concentram asupra variabilelor b,c in primul rand.
Notam cu
s = b+c si
p = bc
suma si produsul lor. Ecuatiile se rescriu:

s = 5-a
p + as = 7+a .

A doua ecuatie putem sa o rescriem:
p = 7+a - as, i.e.
p = 7+a - a(5-a), i.e.
p = 7 -4a + aa, i.e.

Discriminantul ecuatiei in X sa zicem,
XX - sX + p
este -3(a-1)² .

Deoarece avem solutiile reale b,c rezulta ca acest discriminant este =0.
Deci a=1, ...

La primele 2 probleme se cere rezolvarea in multimea numerelor intregi ale ecuatiilor.
Multumesc pentru rezolvari.Totusi unele nu prea le inteleg,avand in vedere ca nu am facut inca functiile,fiind in clasa a 8-a.Oricum mi-ati fost de mare ajutor.
As dori sa stiu si la primele 2 ecuatii metoda de rezolvare pentru ca am incercat sa o rezolv pe diferite cai dar nu imi ies.

Problemele nu sunt tocmai de clasa a VIII-a, dar vom reusi curand sa le facem de clasa a VIII-a macar rezolvarile. Rog a se pune intrebari la fiecare problema si in fiecare loc unde apar neclaritati. In acest mod se elucideaza repede neclaritile si data viitoare va fi mult mai usor.

Ma ocup de primele doua probleme.
Idea este de a grupa "patrate perfecte" (de polinoame in x si y).
Daca apar numitori, si ei vor apare, trebuie sa ne scapam cumva de ei.

[Citat]

O sa incerc sa rezolv fara a face vreun salt.
(Ieri am fost in ceva graba...)

A doua problema...

Sunt in clasa a 8-a,iar probleme acestea sunt din gazeta matematica la clasa a 8-a...da,poate sunt ceva mai grele,dar sunt de clasa a 8-a.

Spre exemplu,problema 4 nu am inteles-o prea bine.Insa am reusit sa o rezolv singur pana la urma .

4. Sa se determine masurile unghiurilor ascutite ale unui triunghi ABC,dreptunghic in A,stiind ca AB/AC - AC/AB = 2 radical din 3.

Notam AB/AC = y
y- 1/y = 2 radical din 3 // aici inmultim relatia cu y
y^2 - 1 = 2 x (radical din 3)x y
y^2 - 2y x (radical din 3) - 1 = 0
(y - radical din 3)^2 = 4
x - radical din 3 = -2 sau +2
Daca x = 2+ radical din 3 rezulta tgC = 2 + radical din 3 rezulta C = 75 grade
Daca x = -2+ radical din 3 < 0 nu convine.
E ok rezolvarea?

Am rezolvat si ex 6,dar nu stiu cat de bine o fi.
Am folosit tehnica taranului si am incercat sa vad ce valori poate lua a,b si c.
Dupa cateva incercari,varianta cu a=1,b=2,c=2 a mers.
Buun,am inceput cu rezolvarea cam asa:
Fie x,y,z numere care apartin multimii numerelor reale.
Inlocuim a cu (x+1),b cu (y+2),c cu (z+2) in ambele relatii.
In prima o sa ne dea x+y+z = 0,iar in a doua 3(x+y+z) +xy+yz+zx =0
Deci xy+yz+zx = 0
(x+y+z)^2 = x^2 +y^2 +z^2 + 2(xy+yz+zx)
x^2 + y^2 + z^2 = 0
Deci y,z,x=0
a=1,b=2,c=2
E ok rezolvarea?
Multumesc pentru timpul acordat pentru toate problemele postate.

[Citat] Daca x = 2+ radical din 3 rezulta tgC = 2 + radical din 3 rezulta C = 75 grade

Multumesc mult pentru explicatii.
Mai am cateva probleme pe care trebuie sa le rezolv si nu stiu .

1.Rezolvati in multimea numerelor intregi,ecuatia:

3x^2 - 2xy - 1 = 0.

2.Sa se arate ca nu exista patrate perfecte de forma n(9n+2012),n apartine numerelor naturale.

3.Calculati produsul primelor 2012 zecimale ale numarului A= radical din (0,444....4),cifra 4 apare de 2012 ori.

Multumesc la fel ori de cate ori vad efortul si vointa de intelegere a matematicii! Tot asa mai departe!

[Citat]

1. Rescriem ecuatia data sub forma
x(3x-2y) = 1
Produsul a doua numere intregi este 1...
Avem doar doua sanse de a-l sparge pe 1 in produs in ZZ .
Dam de doua solutii?!


2. Numarul dat este A(n) = n (9n + 2012) .
Vedem doi factori.
Ce divizori comuni pot avea cei doi factori?

Daca p numar prim divide ambii factori,
atunci p divide n, divide 9n si divide 9n+2012, deci p divide 2012.
Care are doar factorii 2 (si 2) si 503.

Daca n se divide cu 2, sa zicem ca n = 2m, dam de un patrat mai mic,
m(9m+1006) . Daca nu, nu.

Daca m se divide cu 2, sa zicem ca m=2k, dam de un patrat mai mic,
k(9k+503).

Facem asa si cu 503 in loc de 2.
Rezulta ca facem rost de un patrat de forma

s ( 9s + D ) unde

D este 2012, 1006, 503, 4, 2, 1 (unul din divizorii lui 2012)
s nu se divide nici cu 2, nici cu 503, deci ambii factori sunt patrate perfecte.

Deci s = tt, s este patratul numarului natural t,
si 9tt + D este patrat perfect. Deci ceva de forma uu cu u natural.
Sa vedem daca se poate asa ceva .

Dam de sistemul
u-3t = E si
u+3t = F

unde D = EF este pe rand o descompunere in IN a lui D .

Ramane sa luam cele cateva cazuri...
(Ne putem economisi cazurile in care D nu este rest patratic modulo 9, deci 0,1,4,7 modulo 9. Suma cifrelor arata ca ne legam doar de 1006, 4, 1.
Deoarece 2u=E+F, suma factorilor trebuie sa fie para. 1 este descalificat. 4 are sigur unul din factori par, deci si celalalt, deci u=2, t=0, deci s=0, deci n=0. Am exclus in enunt. Cu 1006 avem un factor par, unul impar...)

Am incercat sa dau solutia care descrie in ce cazuri asemanatoare (cu 9 si 2012 luati altfel) putem sa (nu) ne asteptam sa avem solutii...


3. Rog a se experimenta cu computerul in astfel de cazuri.
Un calculator de buzunar ajunge, dar mai bine ne instalam pari/gp (cativa MB liberi)... Iata ce se poate cere calculatorului:

(22:05) gp > sqrt(0.44)
%6 = 0.6633249580710799698229865473
(22:08) gp > sqrt(0.4444)
%7 = 0.6666333324999583307289843613
(22:08) gp > sqrt(0.444444)
%8 = 0.6666663333332499999583333073
(22:08) gp > sqrt(0.44444444)
%9 = 0.6666666633333333249999999583

si desigur ca jocul poate merge mai departe.

De exemplu, pari/gp calculeaza usor

(22:18) gp > sqrt( 4/9 * (10^20-1)/10^20 )
%15 = 0.6666666666666666666633333333
(22:20) gp > \p 100
realprecision = 105 significant digits (100 digits displayed)
(22:20) gp > sqrt( 4/9 * (10^20-1)/10^20 )
%16 = 0.
66666666666666666666
33333333333333333333
24
9999999999999999999
58
333333333333333333
07291
66666666666667

Mai sus am spart numarul in loc sa-l las lung sau sa-l colorez...

(In liceu fiind, mi-a aparut in gazeta o problema de forma: "Sa se calculeze paratea intreaga si primele n zecimale ale numarului 33...33 cu 2n cifre (scris in baza zece. Eu am descoperit asa ceva jucandu-ma cu un calculator de buzunar.
Nu este mare lucru... Demonstratia este desigur simpla. Nu dupa mult timp am vazut sute de astfel de probleme in culegeri, de exemplu in culegerea Yaglom^2... Liviu Nicolescu a generalizat problema de la baza zece la baze de forma patrat perfect plus unu... Asa ceva este mare lucru. Peste ani am inteles cum se vad mai bine lucrurile de fapt si de drept...)