Am mai postat problema aceasta (este din GM), dar acum am rezolvarea (oficiala) si nu inteleg ce au facut:

Fie

cu proprietatea:

Sa se arate ca:

Demonstratie:

Din inegalitatea Cauchy-Schwarz rezulta:

Integrand inegalitatea pe [0,1] obtinem:

.

Solu?ia e destul de clar?. Ce anume nu a?i în?eles?

Partea de la integrare. De ce l-au bagat pe x?

[Citat] Partea de la integrare. De ce l-au bagat pe x?

Cum de ce? Au integrat inegalitatea de mai sus. Acolo apare prima data

.

Ma refer, de unde l-au luat?

[Citat] Ma refer, de unde l-au luat?

P?i, de unde po?i s? iei un

Serios acum, având în vedere concluzia, e foarte probabil c? se ob?ine printr-o integrare. Altfel, cum s? ob?inem

?
Evident, pentru asta avem nevoie de o variabil? ?i de o inegalitate în care s? fie implicat? acea variabil?.

Nu sunt sigur c? am r?spuns întreb?rii dv. (de fapt, n-am în?eles prea bine sensul ei).

Multumesc pentru raspuns!
De fapt, acum am inteles ce au facut ei si cum au integrat (sunt inca in clasa a X-a, si de-abia am invatat materia de a 12-a (in caz de imi va folosi la ceva...bine, m-a interesat mai mult partea de algebra (polinoamele)) si de-aia am intrebari mai "tampite" :D ).

Cred ca e bine sa ma bag totusi in vorba.
In primul rand, problema propusa este nenaturala,
in al doilea rand, solutia etalata este si mai nenaturala.

Raspunsul la intrebarea din postarea de la inceput este poate:
Autorul soulutiei care a generat apoi problema face ce face (inventeaza de exemplu un x si se leaga de o functie de x pe care o integreaza...) si rezolva problema? De ce inventeaza acel x? Pentru ca stie deja ca asa ii va iesi problema!

Celalalt raspuns este urmatorul. (Nu mai stiu daca la postarea anterioara am raspuns...)
De fapt nu este nevoie de astfel de trucaje. Nu este nevoie de inventarea unui x daca stim de ce functie (de x) sa ne legam.
Eu ma leg de functia

f : I=[0, +oo] -> IR ,
f(x) = x arctan(x) pentru x din I .

(Observam aici ca ne putem de la inceput reduce la cazul in care toate x(i)-urile sunt >0. )

Aceasta functie este
- strict crescatoare, ca produs de doua astfel de functii pozitive,
- convexa, (graficul tine ploaia (inauntru),)
deoarece derivata secunda a acestei functii este > 0 pe I.
f''(x) = 2 / (1+xx)^2 > 0 .

Atunci are loc inegalitatea Jensen, usor de vizualizat,

a f(x) + b f(y) + ... + c f(z) >= f( ax + by + ... +cz )

unde a,b,...,c sunt ponderi >0
, a+b+...+c = 1
si x,y,...,z sunt puncte intermediare din domeniul de definitie I.

Cred ca este acum clar cum luam ponderile si cum luam punctele.
(a=b=...=c)
Ramane sa minimizam x+y+...+z cu legatura data. Hölder pentru 1/p + 1/q = 1 in care 2p=q pentru a putea sa ne aranjam cu o simplificare. (Cred ca totul se imbina bine.)