[Citat]
Aratati ca numarul
nu este patrat perfect. |
Alternativ (pentru o clasa care trebuie sa stie sa lucreze modulo 11)...
32^2 este 1024.
1023 se divide cu 11.
Atunci numarul nostru este
(1023+1)(1023+1)...(1023+1)
plus
(22+1)(22+1).....................(22+1) .
Desfacem generos parantezele si obtinem multi termeni. (Inmultim fiecare cu fiecare cu...)
Dintre acesti termeni doar doi nu se divid cu 11, anume cei pe care ii obtinem daca inmultim 1.1....1. si 1.1............1 .
Ramane problema de a vedea care este restul unui patrat perfect N^2 la impartirea cu rest la 11. Avem de inteles "doar" cazurile:
Daca N se divide cu 11,
avem N = 11k+0, deci N^2 =(11k+0)^2 = 11(...)+0^2 da restul zero la impartirea cu 11.
Daca avem N = 11k ± 1,
N^2 = (11k ± 1)^2 = 11(...)+1^2 da restul 1 la impartirea cu 11.
Daca avem N = 11k ± 2,
N^2 = (11k ± 2)^2 = 11(...)+2^2 da restul 4 la impartirea cu 11.
Daca avem N = 11k ± 3,
N^2 = (11k ± 3)^2 = 11(...)+3^2 da restul 9 la impartirea cu 11.
Daca avem N = 11k ± 4,
N^2 = (11k ± 4)^2 = 11(...)+4^2 = 11(...)+11+5 da restul 5 la impartirea cu 11.
Daca avem N = 11k ± 5,
N^2 = (11k ± 5)^2 = 11(...)+5^2 = 11(...)+22+3 da restul 3 la impartirea cu 11.
Orice numar natural N se incadreaza intr-unul din cazurile de mai sus (cu un k natural).
Resturile posibile ale unui patrat perfect modulo 11 sunt deci
0, 1, 4, 9, 5, 3.
Numarul din problema da restul 2 la impartirea cu 11. Deci nu este patrat perfect.
Incomparabil mai usoara mi se are totusi explicatia faptului ca numarul dat se divide cu 5, dar nu si cu 25, ca mai sus!
Folosim faptul ca daca stim ultimele doua cifre
a,b ale numarului A si
s,t ale numarului S,
(scrise ambele in baza zece,)
atunci stim si ultimele doua cifre ale numarului AS,
acestea se obtin inmultind
__
ab cu
__
st
si luand ultimele doua cifre. "Demonstratia" poate fi data pe baza algoritmului de inmultire in care scriem numerele
....ab X
....st
---------- tragem linie si calculam...
Avem 32^2 = 1024. Pastram 24 si mai avem nevoie de 24^10.
Apoi 24^2 = 576. Pastram 76 si mai avem nevoie de 76^5 .
Apoi 76^2 = 5776. Pastram 76 si... bine, de aici incolo vedem doar 76.
Ne legam acum de 23.
23^2 = 529. Pastram 24 si mai avem nevoie de 29^11 = 29 x 29^2 x 29^8.
29 se termina in 29.
29^2=841 se termina in 41.
29^4 se termina ca si 41^2=1681 in 81.
29^8 se termina ca si 81^2=6561 in 61.
Mai inmultim 29 x 41 = 1189, apoi 89 x 61 = 5429.
In sfarsit, 23^22 se termina in 29.
Deci numarul dat are ultimele doua cifre obtinute din adunarea
...76 +
...29
------------tragem linie si adunam...
...05
Acest numar se divide cu 5, dar nu si cu 25.
Cu calculatorul:
(21:44) gp > 32^20
%36 = 1267650600228229401496703205376
(21:44) gp > 23^22
%37 = 907846434775996175406740561329
(21:44) gp > 32^20 + 23^22
%38 = 2175497035004225576903443766705
Nota: Efectul didactic al problemei este cel de a obliga elevii sa instaleze pari/gp sau ceva asemanator ca sa poata lucra ca omul cu numere mai mari.
) carcotashi!
Access general
Conţine mesaje necitite
