Fie un triunghi ABC dreptunghic in A. Consideram cercurile de centre B si C,avand razele BA, respectiv CA.Sa se calculeze raza cercului tangent interior cercurilor anterior definite si dreptei BC in functie de lungimile catetelor triunghiului.

Nu am stiut de ce sa ma apuc . Practic nu stiu nici o relatie legata de un cerc care este tangent fie unei laturi si la 2 cercuri (interior in special) (ca in problema noastre), fie unui cerc si la 2 laturi, si mi-ar place sa stiu daca exista.(cel putin o metoda mai des intalnita la astfel de probleme)

Va multumesc!

[Citat] Fie un triunghi ABC dreptunghic in A. Consideram cercurile de centre B si C,avand razele BA, respectiv CA.Sa se calculeze raza cercului tangent interior cercurilor anterior definite si dreptei BC in functie de lungimile catetelor triunghiului. Nu am stiut de ce sa ma apuc . Practic nu stiu nici o relatie legata de un cerc care este tangent fie unei laturi si la 2 cercuri (interior in special) (ca in problema noastre), fie unui cerc si la 2 laturi, si mi-ar place sa stiu daca exista.(cel putin o metoda mai des intalnita la astfel de probleme) Va multumesc!

Lucrurile se pot transa cat de cat repede daca stim sa aplicam inversiunea:
De exemplu:
http://xahlee.info/SpecialPlaneCurves_dir/Inversion_dir/inversion.html

Incerc sa dau idea.
Daca as avea hartie aici ar fi usor. Incerc asa:

Plecam cu

Cele doua cercuri au diametrele AB' si AC' si trec prin I'. Le notam cu
Cerc(AB') si
Cerc(AC')
in lipsa de o idee mai buna.

(Prim-urile semnifica doar ca am luat puncte la distanta dubla fata de A,
homotetie.)

Aplicam inversiunea "Inv"
- de pol / centru A
- care lasa I pe loc.

Notam cu
b imaginea lui B' prin "Inv"
c imaginea lui C' prin "Inv"
i imaginea lui I' prin "Inv"

Desigur ca i este mijlocul lui AI.

Cerc(AB') se transforma atunci in perpendiculara pe dreapta ABB' din i,
dam de dreapta (b,i). Stim astfel unde e b daca e nevoie...

Cerc(AC') se transforma atunci in perpendiculara pe dreapta ACC' din i,
dam de dreapta (c,i). Stim astfel unde e c daca e nevoie...

Dreapta BC se transforma intr-un cerc, anume cercul de diametru AI. (Dreapta AI sta pe loc ca multime, perpendicularitatea AI _|_ BC se conserva dupa "Inv".)

Ramane sa ne legam, de imaginea prin "Inv" a cercului incercuit in cele cerute de problema. Acesta este cercul tangent la

bi, ci si cercul "Cerc(AI)" de diametru AI (cu centrul in i).

Centrul lui se afla desigur pe bisectoarea unghiului drept.
Ne uitam unde taie ea Cerc(AI)...

Problema este poate mai accesibila acum. (Nu mai avem doua cercuri...)

Ma opresc aici, trebuie sa calc. Mai revin pana la capat, daca nu mi-o iau altii (- cu incredere! -) inainte.

Multumesc! O sa ma apuc de inversiune(daca stiam la ce e buna ma apucam mai de mult de ea). In orice caz, asteptam continuarea (problema aceasta sa fie un fel de exemplu "introductiv" pt mine (si probabil si pentru altii) in inversiune).

[Citat] Fie un triunghi ABC dreptunghic in A. Consideram cercurile de centre B si C,avand razele BA, respectiv CA.Sa se calculeze raza cercului tangent interior cercurilor anterior definite si dreptei BC in functie de lungimile catetelor triunghiului.

Notez cu D centrul cercului "interior" . Fie DM perpendicular pe BC. Evident, DM = r (raza ceruta).

Observ ca BD = c-r, CD = b-r

Se aplica T. Pitagora in DMB si DMC pentru BM si MC.

BM+MC = a = radical (bb + cc).

Dupa eliminarea radicalilor, am obtinut o ecuatie de gradul 2, cu necunoscuta r.

Retin din aceasta ecuatie radacina pozitiva.

Pentru ca sa avem BD=c-r trebuie ca BD sa treaca prin punctul de tangenta al cercurilor C1(B,BA) si C2(D,r). De ce se intampla acest lucru (daca se intampla)?

Daca doua cercuri sunt tangente, centrele lor si punctul de tangenta sunt coliniare.

Multumesc!