Determinati pentru ce valori ale parametrului real m intervalul [5,infinit) este o parte a lui R stabila in raport cu legea de compozitie x*y=xy-5(x+y)+m oricare ar fi x,y e R.

Am citit definita partii stabile:Fie M o multime nevida pe care este definita o lege de compozitie * ,o submultime nevida H inclusa sau egala cu M se numeste parte stabila a lui m fata de legea de compozitie * daca oricare ar fi x,y e H rezulta x*ye H ,dar tot nu am avut idei.

Problema se "traduce"astfel: Gasiti m astfel incat , pentru orice

avem

.
Avem:

Pentru x=5 ,obtinem:

,deci

.(am determinat o conditie necesara pentru m, deci,daca mai aratam ca este si suficienta, obtinem solutia)
Pentru

, avem

, deoarece

. Deci, conditia

e si suficienta.
In concluzie,

.

Doar o mica nota:
Alternativ, pentru a determina conditia necesara de mai sus, putem argumenta si asa. 5 se afla in [ 5, oo ), deci din stabilitate 5*5 se afla in acelasi interval.

Deoarece 5*5 = 25-5(5+5)+m = m-25,
conditia ca acest numar sa fie mai mare sau egal cu 5 revine la
m mai mare sau egal cu 30.